施罗德-伯恩斯坦定理 (4-3)

···⊂ f³[X] ⊂ f²[X] ⊂ f¹[X] ⊂ f⁰[X].

设j，k∈ℕ满足j≠k。首先，我们假设k＜j。由于Rⱼ ⊆ fʲ[X] ⊆ fᵏ[Y]以及Rₖ＝fᵏ[X]\fᵏ[Y]，我们得到

Rⱼ∩Rₖ ⊆ (fᵏ[X]\fᵏ[Y])∩fᵏ[Y]＝∅.

j＜k的情况与此类似，我就不在此赘述了。

因此，整个序列R 中的元素是互不相交的。也因此，对于任何i∈ℕ以及x∈X，如果x∈Rᵢ，那么f(x)∉ Rᵢ。（在下面的过程中，我们需要小心地辨别何时我们需要这个结论。）

现在，我们来验证y是否是一个双射。

设y∈Y。如果y ∉∪R，那么，由于y ∈ X，我们有g(y)＝y。因此，假设y∈∪R。由于y ∈ Y，因此

y∈Y∩∪R ⊆ f[X]。进而，y∈f[X]。这说明，一定存在一个x∈X，使得f(x)＝y；并且，这个x∈∪R，否则的话，x＝y导致y ∉∪R，从而产生了悖论。因此是一个满射。

设x，x'∈X满足x≠x'。这里，我们需要考虑三种情况：

1.x∈∪R且x'∈∪R；

2.x∉∪R且x'∉∪R；

3.x∈∪R且x'∉∪R。

在情况1中，由于f是一个单射，因此

f(x)≠f(x')。在情况2中，g(x)≠x'直接由于x≠x'。因此，我们考虑情况3。这个情况下，f(x)∈∪R，否则，f(x)＝x导致x∉∪R。由于x'∉∪R，我们有

f(x')＝x'∉∪R。因此，f(x)≠f(x')。由此，g是一个单射。

既然g：X → Y既是一个单射又是一个满射，那么它是一个双射；从而，X~ₑ Y。◾

我们将上述结论插入到证明大纲中去，便可以直接完成该定理的证明。

施罗德-伯恩斯坦定理是否可以被推广到类型关系上？

在我最初证明施罗德-伯恩斯坦定理的时候，其实是遇到了一个问题，那就是：根据MK中的尺寸限制公理（the axiom of limitation of size），一个类型X之为真类型（即，不是一个集合）当且仅当存在一个函数

f：𝒰 → X之为单射。我直观地认为，这个时候，宇宙𝒰 和真类型 X之间一定存在一个双射b：𝒰 → X。但是，要证明这个观点，我们就必须将施罗德-伯恩斯坦定理是可以被推广到任意两个类型之间的，也就是：对于任何类型A和B（不论它们是不是集合），如果A≤ₑ B且B≤ₑ A，那么

A~ₑ B。

但是，如果我们将上述证明中的“集合”全部替换为“类型”，那么，这个证明将会是不合理的。就算我们避免定义序列R，而只说，对于任何i∈ℕ，Rᵢ是一个类型（不论是不是集合）满足Rᵢ＝fⁱ[X\Y]，这时，我们依然会遇到一个问题：我们凭什么将ℕ作为一系列不一定是集合的类型 R₀，R₁，R₂，. . . 的索引类型？要知道，索引类型的存在本身是函数定义的一个衍生。如果我们说一个类型𝐼（不管它是不是集合）是某些类型

Cα，Cᵦ，Cᵧ，. . . 的索引类型，那么，这就意味着，我们承认存在一个函数φ：𝐼 → C之为一个索引函数；这时，如果存在某个i∈𝐼使得Cᵢ 不是一个集合，那么，不论是在NBG还是MK中，C都无法是一个类型。这也是为什么，任意并和任意交无法被定义于任意多个真类型之间。

因此，起码根据上述证明，我们无法将施罗德-伯因斯坦完理推广到类型关系上，如里，

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