施罗德-伯恩斯坦定理 (4-1)

A B

g[B] f[A]

h[A]

当我第一次试图证明P(ℕ)与ℝ 之间等势的时候，我发觉，如果我仅仅将ℝ定义为有理数轴（ℚ，≤ℚ）上所有戴德金分割^的集合而完全不引入数位系统的话，要找到 P(ℕ) 与ℝ之间的双射其实是很有挑战的。于是，我想到一个捷径：如果我可以找到两个函数f：P(ℕ) → ℝ以及g：ℝ → P(ℕ)，而这两个函数都是单射的话，那么，应该足以说明这两个集合之间存在双射，即，它们是等势的。这个其实就是康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理所包含的事实。但是，就如同许多集合论中的定理，它在直观上如此容易被接受，但是，当时我既不知道这个著名的定理，也不知道如何证明它。

在继续讨论之前，我声明一下这篇文章中使用的符号：

1.A≤ₑ B表示，存在一个函数f：A→B之为单射；

2.A＜ₑ B表示A≤ₑ B但是￢（B≤ₑ A)；

3.A~ₑ B表示，存在一个函数f：A → B之为双射，即 A 和 B 等势。

陈述及直接推论

施罗德-伯恩斯坦定理（Schröder-Bernstein

theorem )

设 A 和 B 为两个集合。如果 A≤ₑ B 且B≤ₑ A，那么，A~ₑ B。

根据该定理，许多关于集合间的等势的问题都变得简单了许多，例如，我在一开始提到的P(ℕ)~ₑ ℝ。并且，它也对基数的定义（以序数的术语）提供了极大的便利。并且，根据该定理，关系≤ₑ是宇宙𝒰上的一个序（伴随~ₑ 为这个序的等价关系），也就是说：

1.≤ₑ 在𝒰上是自反的：对于任何

x∈𝒰 ，我们有x ≤ₑ x；

2.≤ₑ 在𝒰上是传递的：对于任何

x，y，z ∈𝒰 ，如果x ≤ₑ y 且y ≤ₑ z，那么x ≤ₑ x；

3.≤ₑ 在𝒰上是反对称的：对于任何

x，y ∈𝒰，如果x ≤ₑ y 且y ≤ₑ x，那么

x~ₑ y。

≤e的反对称性正是施罗德-伯恩斯坦定理所声明的。（当然，必须注意的是，在没有选择公理°的情况下，≤ₑ 无法被展现为一个𝒰 上的全序——纵使这个结论再直观。≤ₑ 之为全序其实是策梅洛定理的一个结论--它经常是以基数的术语所叙述的。）

该定理的证明是否需要依赖选择公理？起码，就这个形式的施罗德-伯恩斯坦定理而言，其证明是不需要选择公理的参与的。最初，在1887年，康托第一次发表了该定理，但其中并未附带任何证明。此后的大约十年中，戴德金、施罗德、伯恩斯坦等人都对此进行了证明，并且，那些证明都绕开了选择公理。在下面，我介绍一种在我看来较为直观的证明。

证明

首先，我简单地介绍一下该定理的证明大纲。

设 A 和 B 为两个集合满足A≤ₑ B且B≤ₑ A。设f：A → B以及g：B → A为两个单射。

设

f B

h＝g◦f：A→f[A]⊆ BA.

由此，从下图中，我们看到，复合函数h 将A映射到了它的一个子集h[A]中；并且，h[A] ⊆ g [B]。

A B

y [B]

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