（数学定理）篇章

（Schröder-Bernstein）定理的证明：

(card X≤cardY)∧(card Y ≤ card X)⇒(card X= card Y)

的以下证明.

◄ 只需证明：如果集合X，Y，Z满足X⊃Y⊃Z且card X＝card Z，则card X＝card Y.设f：X → Z是双射，那么，例如，可以用以下方式给出双射g：X→Y：

g(x)＝{f(x)，如果对于某个 n ∈ N 有x ∈ fⁿ(X)\jⁿ(Y)，

{x，在其余情况下.

这里 fⁿ＝f◦· · ·◦f是映射 f 的 n 次迭代，而N是自然数集.►

Schröder-Bernstein定理在主流的数学分析教材中都有介绍，叙述简单，意义也很清晰：

设 f：X → Y，g：Y → X 均为单射，则存在 X，Y 间的双射。

但其证明并不像定理本身那样简洁，Зорич和于品的数学分析教材中都把这一证明编成了习题，本文采用的即是于品老师讲义中的处理方法。

考虑到 f：X → f(X)，g⁻¹：g(Y) → Y 均为双射，只需找到 X 的一个分划 A|B ,使得 f(A)|g⁻¹(B) 也是 Y的分划即可。由于 f，g 均为单射，故原条件可转化为：

条件可转化为：

g◦f(A)∩g∘g⁻¹(B)=∅ (1)

g◦f(A)∪g◦g⁻¹(B)＝g◦f(A)∪B＝g(Y)

(2)

首先考虑条件 (1) :

记 X′=X−g(Y) , g◦f＝h：X→X ,条件 (1) 可改写为： X′∪h(A)⊂A 。故考虑 X 的子集类

F={U⊂X|X′∪h(U)⊂U}

显然， X∈F ，故 F 非空；

其次，对 ∀U∈F，X′∪h(U)⊂U ⇒ X′∪h[X′∪h(U)]⊂X′∪h(U)， 则：

X′∪h(U)∈F ；

另外， F对任意交封闭： ∀{Uα}⊂F，Λ={α}为任意指标集， ⋂α∈ΛUα∈F。

证明： X′∪h(⋂α∈ΛUα)⊂X′∪⋂α∈Λh(Uα)⊂X′∪⋂α∈ΛUα＝⋂α∈ΛUα，得证。

其次考虑条件件 (2)：

h(A)∪B={[X′∪h(A)]∩g(Y)}∪B⊂[A∩g(Y)]∪B=g(Y)

故条件 (2) 成立当且仅当

X′∪h(A)=A

显然， F 的所有元素之交 A₀＝⋂U∈F U∈F 满足要求：

一方面， X′∪h(A₀)⊂A₀ ;

另一方面，由于 A0是 F 中所有元素的交， X′∪h(A₀)∈F ,故

A₀ ⊂ X′∪h(A₀) 。

从而有： X′∪h(A₀)=A₀

至此，我们已得到了一个双射

φ：X → Y

φ(x)

{f(x)… if x ∈ A₀

＝

{g⁻¹(x)… if x ∈ Ⅹ－A₀

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