特殊篇章（数学解释）三 (4-3)

设f：X→Y，那么∗f:∗X→∗Y（函数逐点作用，在不引起混淆时也直接写f），那么f是满射当且仅当∗f是满射。

对∀y∈Y，∃x∈X，f(x)=y传达知等价于∀y∈∗Y，∃x∈∗X，f(x)=y。

若一个超自然数比所有（标准）自然数都大，那么称它是无穷大的，否则称为有限的。

那么一个有限自然数一定是标准的。

假如α∈∗N是有限的，那么存在一个n∈N使得α≤n。

对∀x∈N，x≤n→x=0∨x=1∨⋯∨x=n传达得∀x∈∗N，x≤n→x=0∨x=1∨⋯∨x=n。

取x为α，得到α≤n→α=0∨α=1∨⋯∨α=n，所以α是标准的。

我们用N∞记所有无穷自然数。

我们不能用传达原理得到超自然数集的每个非空子集都有最小元（有反例N∞）。

因为将∀S∈P(N)，S≠∅→S has aminimum传达会得到∀S∈∗P(N)，S≠∅→S has a minimum，而∗P(N)是P(∗N)的真子集。

∗P(N)中的元素称为∗N的内子集。

内子集就是“可定义”的子集。

我们暂时不会展开讨论。

超实数的性质

我们考虑∗R，它依然是有序域，但不再具有阿基米德性质（∀x∈R，∃n∈N，n≥x传达为∀x∈∗R，∃n∈∗N，n≥x，自然数集变成了超自然数集）。

我们把一个绝对值小于任何正实数的超实数称为无穷小的，把差无穷小的超实数称为相近的（记作x≈y），把绝对值大于任何正实数的超实数称为无穷大的（分为正无穷大和负无穷大），把其它元素称为有限的。

每个有限元都近于唯一的标准元（我们马上会证明它）。

于是∗R到R∪{±∞}有一个映射∘。

∘是单调的，即x≤y可推出∘x≤∘y。

命题：每个有限超实数近于唯一一个标准实数。

证明：唯一性由两不同实数不近即得。

下证存在性，设x是有限超实数，考虑R的子集{c∈R|c≤x}，它非空且由上界，故有上确界r，易证x−r既不能大于一正实数，也不能小于一负实数，从而x≈r。

zfc和nbg属于集合论下面的新的学科分支，zfc是广义分支开放分支，nbg是狭义分支封闭分支。

本质上都是集合论类型学科，要说优劣的话，个人认为nbg更好。

因为它分析的面要少一些，学起来不太累，分析出的模型结果也要更准一些，毕竟分析的样本有个限度。

zfc太宏大，你懂的越是宏大的东西，就会越学越玄，越学越神经。

说白一点zfc和nbg这两个东西的本质是代数，是一种计算类的算术。

zfc，nbg是一种逻辑数学系统。

1.ZFC公理系统，是指由策梅洛(Zermelo)和弗伦克尔(Fraenkel)等提出的ZF系统，在此基础上再加上选择公理所构成的ZFC公理系统。

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