特殊篇章（数学解释）三 (4-2)

• 最大序数悖论/布拉利-福尔蒂悖论。如果你的理论可以展现一切序数的序数（被康托尔称为“真无穷”），那么0=1（矛盾）是你的理论的内定理。这个悖论在新基础集合论（NF）中不成立。

“第四次数学危机”：

• 分球悖论/巴拿赫-塔斯基悖论。一个实心球可以分解和重新组合成两个乃至于任意个大小和原来一样的球。不是悖论，一般被视为佯谬。依赖于选择公理AC。

• Kunen不一致定理。不存在从V -> V的非平凡初等嵌入。V一般翻译成冯·诺伊曼全集或者冯·诺伊曼集合论宇宙，但是我更喜欢终极数学宇宙或者柏拉图宇宙这样的翻译，笑，也就是说这个悖论的意思是不存在从终极数学宇宙到终极数学宇宙的非平凡初等嵌入。同样依赖于选择公理AC。

之所以他们被单列在此处，是因为他们和AC息息相关——而AC本身还未被完全确认为一个确定无疑的公理。

如果你接受选择公理就要接受他们。

而如果拒绝选择公理就能获得从V -＞ V的非平凡初等嵌入的话（当下还是一个猜想），那么将会是一个很好的拒绝选择公理的理由，然后引发非常严重的灾难：

• Ω-猜想不成立。

• Ultimate-L不存在。

• V=HOD不成立。

• 基于勒贝格测度的一系列理论可能全部不成立。这意味着为了克服第二次数学危机的重要努力的巨大挫折。

超自然数的构造

固定I=N，F为I上的一个包含余有限滤子的超滤子。

设X是集合，我们在XI（即X中的列的全体）上定义等价关系∼F，(xi)i∈I∼(yi)i∈I当且仅当{i|xi=yi}∈F，记∗X=XI/∼F。

我们可以自然地将X嵌入∗X中，由a↦[(a)i∈I]给出。

我们以X=N为例子，∗N称为超自然数集。

N可以嵌入其中，除了N中的元素外还有额外的元素，比如(i)i∈N。

我们可以在∗N上定义运算[(xi)]+[(yi)]=[(xi+yi)]，类似地一切N上的运算可以提升为∗N上的运算。

也可以定义序关系，[(xi)]＜[(yi)]定义为{i|xi＜yi}∈F。

根据超滤子的性质可以发现这个序关系依然满足三歧性。

容易发现，∗N上满足和N上一样的运算律、序性质等等。

一般地，我们有如下的传达原理：

传达原理（不严格）：将一句标准的话的每处打个星，真假值不变。

严格的叙述需要简单的数理逻辑，我们不加展开。

传达原理是非标准分析中最重要的原理，之后我们的证明不需要用到非标准域的具体构造，只需要使用传达原理。

我们通过几个例子来说明传达原理应该如何使用：

N上的序关系具有三歧性。

对∀x，y∈N，x＜y∨x=y∨y＜x传达，得到∀x，y∈∗N，x＜y∨x=y∨y＜x。

设X={x1，x2，⋯xn}为有限集，那么X到∗X的嵌入是满射。

对∀x∈X，x=x1∨x=x2∨⋯∨x=xn传达得∀x∈∗X，x=x1∨x=x2∨⋯∨x=xn。

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