数学联邦政治世界观
超小超大

绝对无限(番外篇章) (3-2)

V 是所有集合的类,其究竟有多大已是超越人的想象。

就像 V 已不是集合一样,V 的所有子类构成的幂类同样不再是幂集。

但这有可能存在吗?V 真的还能被超越吗?

而在 V 的幂类存在之前,首先需要存在的是 V 的子类,比如绝对无限是 V 中所有序数的类,那么绝对无限存在吗?既然绝对无限可以存在,V 的其它子类为什么不可以存在?而既然 V 的类都可以存在,那这幅本体论背景本身不就可以视为 V 的幂类了?如此,V 的幂类的幂类,又有什么理由说一定不存在呢?只是本体论的深度越来越深而已。

V 的定义依赖于序数,或者一般的说依赖于“传递且∈是其上的良序关系的x”,记绝对无限为 Ord,显然“Ord 是传递且∈是其上的良序关系”,Ord+1 也同样如此,可得 V=VOrd , V 的幂类 = VOrd+1 。

可以期待,所有这些似集合的类也会形成类似 V 的大全,要不就记为 Ⅵ,其也绝不仅限于提升一个 V 的高度,这仅仅只是 VOrd+Ord 而已。

就像我们不知 V 有多大一样,我们同样不可能知道 Ⅵ 会有多大,但至少,V应当是 Ⅵ 的初等子模型,换言之,即使是在 Ⅵ 中,Ord 也绝非可定义之物,并且对任意 α∈Ord,Ord 都是 α阶语言不可描述的。

反之,如果不存在 V 的幂类的话,Ord都不能具有任何二阶描述,因为在本体论上已经不允许进一步的量化描述了。

当然,通过引用谓词 “x 是集合”,Ord在 Ⅵ 中还是可以被定义的,但这种语言也不再是集合论语言了,因为这本身可以视为允许语句将 Ord 作为参数使用。

类似地,Ⅵ 作为囊括一切类的大全,其也不再是一个类了。

吾不知其名,强曰为超类。

于是我们便再一次遇到那个问题:Ⅵ 的子超类存在吗?出于简洁表达,这里就不再论述存在的含义变化,就单纯作为设定是否能用。

而与之前不同,这里我们就需要慎重考虑了,因为一旦开了超类这个口子,似乎就没有什么能阻止我们滑向一个谬论的深渊而不自知,这个滑坡通向的就是超超类 Ⅶ:囊括一切超类的大全;以及超超超类 Ⅷ:囊括一切超超类的大全。

假设这一切真的是可能的,它们应当会构成一个无穷的模型链:V ≺ Ⅵ ≺ Ⅶ ≺Ⅷ ≺ ……

而让我们彻底解放一切拘束,将其一般推广为 V[α] 和 Ord[α],考虑到允许Ord[Ord[α]] 的引发可能情况,这简直是对我们设想的一种轰炸,根本上我们都不知 Ord 和 Ord[1] 有何其之大,已经是超越设想的了,Ord[α] 能遍及到何种程度早已是步入不可知的境地。

留给我们的仅仅只是,对任意 Ord[α] 终有 Ord[α]∈Ord[α+1]。

那么,有没有可能存在那种终极类,即“不存在y,使得 x∈y”?比如 Λ={x|存在y,x∈y} 就是这样一个终极大全,它是如此的远离我们,以至于 V 都不再会是Λ 的初等子模型。

可这,就是真的是最终了吗?

就像集合与类的区分一样,∈本身是否也存在类似的分野?比如,尽管不存在y,使得 Λ∈y。

但有没有可能存在x,使得 Λ ∈1 x ? ∈关系管辖不到 Λ,但 ∈1 可以,∈ 在根本上只是对 ∈1 的一种限定。

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