特殊篇章（阿列夫数） (4-3)

显然，这一程序可以变化，使得从一个阿列夫零集中减去它的一个子集，这个子集也是阿列夫零集，从其余下的数中就会得到所要的任何有限个数量的元素。

还有一个办法可以使这一减法形象化，想象有两根无限长的测量棒并排放在桌子上，把两棍棒的零端对齐放在桌子中心。

两根棒都刻了线，按厘米计数。

两根棒在右端延伸到无穷远，所有数都一一对应：0—0、1—1、2—2等等。

想象把一根棒向右移动n厘米。

移动以后，那棍棒上的所有数仍与不动的棒上的数一一对应。

如果那根棒移动了3厘米，则棒上教的对应就是0—3、1—4、2—5、……。

移动的n厘米代表两棍棒长之差。

不过，两根棒的长度仍然是阿列夫零厘米长。

由于我们可以让二者之差n为我们所要的任何一个值，很明显用阿列夫零减阿列夫零就是一个不确定的运算。

饭店老板最后施的策略就是打开无穷多个房间。

这表明如何用阿列夫零减阿列夫零得到阿列夫零。

让每一个数与每一个偶数一一对应，则余下的是一个由全部奇数所构成的阿列夫零集。

由实数所构成的集合形成更高一级的无穷集，康托称之为阿列夫1。

康托的辉煌成就之一就是著名的“对角论证法”，它说的是阿列夫1的元素不可能与阿列夫0的元素构成一一对应关系。

阿列夫1也就是在一条线段上全部点的数目。

康托证明了这些点怎样能与一条无限直线上的点一一对应，怎样与一方块上的点、与一无限大平面上的点；

与一立方体中的点、与无限大空间中的点一一对应，如此下去还可以与超立方体或更高维空间中的点一一对应。

阿列夫1又称为“连续统的势”。

阿列夫2是一切可能的数学函数——连续函数和不连续函数的数目。

因为任何一个函数都可画为一曲线，我们把“曲线”取广义以包括不连续曲线，则阿列夫2就是一切可能的曲线数目。

同样，如果我们所指的曲线是在一张邮票上，或者在一个无穷空间里，或者在一个无穷超空间里的全部曲线，这一切都没有问题，仍是阿列夫2。

康托还证明了阿列夫2不可能与阿列夫1一一对应。

当一个阿列夫数被升级为它本身的幂，则产生一个更高级的阿列夫数，它不能与产生它的阿列夫数一一对应。

因此，阿列夫数的阶梯向上是无穷的。

在阿列夫数之间有没有什么超限数？

比如说，有没有一个数比阿列夫零大、比阿列夫1小？

康托确信不存在这种数。

他的猜测成为著名的广义连续统假设。

1938年，哥德尔证明标准集合论与不存在中介的超限数假设是一致的。

1963年，保罗·科恩证明，如果人们假定存在中介数，这也不与集合论矛盾。

简言之，连续统假设是由表明它是“不可判定的”来判定的。

科恩的研究结果是：集合论分为康托型和非康托型的。

康托型集合论是假设在阿列夫数之间没有中介数。

非康托型集合论是假定有无限多个中介数。

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