特殊篇章（阿列夫数） (4-2)

即便承认对任意的基数都存在更大的基数，是否存在“下一个较大的势”使得这个基数和“下一个较大的基数”之间不再有其他的基数仍然是个问题。

下面的构造型定义解决这个问题：

ℵ0定义从前，它是一个良序集ℕ的序数；

如上定义的等价类有一个特点：

可比较，设ℵa已定义且是一良序集的基数，考虑：

由于ℵa是某良序集的基数，这个良序集必存在于某个等价类中；

一定还有其他基数为ℵa的良序集，这些良序集必将也存在于某个等价类中（可能与上面的同属同一个等价类，但不一定）。

所有这些等价类将做成一集，记为Z(ℵa)。

Z(ℵa)也是良序集。

考虑良序集按照某种同构关系划出的等价类；

定义ℵa+1：= card(Z(ℵa))，它是一个良序集的基数。

然后我们来了解一个故事

基塔：““无穷饭店”是我们银河系中心的一家巨大的旅馆。

它拥有无穷多个房间，这些房间通过黑洞伸展到更高级的时空领域。

房间号从1开始，无限制地排下去。

一天，这个旅店的客房全住进了客人，这时候来了一位飞碟（不明飞行物）的驾驶员，他正要去别的星系。

尽管已经没有空房间了，可是旅店老板仍然给驾驶员找到了一个房间。

他不过是把原来住在各个房间里的房客都一一移到高一号的房间。

于是左边第1号房间就空出来给该驾驶员住。

第二天又来了五对夫妇渡蜜月。

无穷饭店能不能接待他们，老板只不过把每个客人都一一移到高5号的房间中去，空出的1到5号房就给这5对夫妇。

周末，又有无穷多个泡泡糖推销员来到这家旅馆开会。”

赫尔曼：“我能够理解无穷饭店可以怎样接待有限数量的新到者，可是它怎么能够再给无穷多旅客找到新房间呢？”

基塔：“很容易，我亲爱的赫尔曼。老板只要把每个房间里的客人移到原来号码两倍的房间中去就行了。”

赫尔曼：“对了！这下每个房间里的人都住到双号房中，余下的所有单号房间有无穷多个，它们空出来给泡泡糖商人住！”

关于无穷大还有很多悖论。

计数用的数是无穷大等级中最低一级的无穷数。

在整个宇宙中的点数是第二级无穷大数，第三级无穷大数比这要多得多！

德国数学家乔治·康托发现了无穷大的这种等级，他把这种新型的奇异等级称为阿列夫零、阿列夫1、阿列夫2等等。

关于阿列夫数有很多深刻的神秘性，解决它们是现代数学中最激动人心的挑战之一。

如我们所知，任何一个有限集都不能与它的一个真子集建立一一对应的关系。

对于无穷集这—点就不成立了。

看上去这样就违反了整体大于局部这一古老法则。

确实，一个无穷集可以定义为能够与它的一个真子集一一对应的集。

无穷饭店的老板首先表明了由一切计数用的数所组成的集合（这是乔治·康托称为阿列夫零的集合）可以与它的某一个真子集一一对应，并余下一个元素，或者五个元素。

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