特殊篇章（阿列夫数） (4-1)

（阿列夫数）与阿列夫0（ℵ）：

阿列夫数

从阿列夫数开始，我们就进入了无穷大的概念。

通过不断地构造一个集合，或者说一个集合拥有无穷多个元素，比如{0，1，2……}，那么它的势（即它元素的个数），就是阿列夫零，阿列夫零可以被理解为最小的无穷基数。

既然有阿列夫零，那肯定还会有阿列夫一、阿列夫二……的确，阿列夫一就是大于阿列夫零的下一个最小的无穷基数，阿列夫二就是大于阿列夫一的下一个最小的无穷基数……以此类推。

不断地向下迭代，阿列夫阿列夫阿列夫……一直到阿列夫但是已经到达了无穷大的概念，单纯的数学运算已经不能将这些无穷大增强了。

就好像ω+1、ω+ω……这些运算是无法到达阿列夫一的。

因为你会发现，即使在无穷大的基础上，增加它的序数，是无法使得它的基数变大的，这两个数都是同样的无穷大，它们的元素依然可以一一对应。

所以，需要一些公理或者一些定理、假设来证明更大的阿列夫一。

连续统假设则认为2的阿列夫零次方等于阿列夫一，因为2的阿列夫零次方是对阿列夫零取幂集，一个集合的幂集的势，一般都比这个集合本身的元素个数多（空集除外）。

（正数、负数、有理数、分数、偶数、奇数等集合的势是阿列夫零，实数集的势是阿列夫一，因为实数集当中包含了无理数，无理数是有理数无法通过加减乘除一个不是无理数的数得到不动点。)

阿列夫0(ℵ)

ℵ₀

ℵ₀是最小的超限基数，阿列夫零也是阿列夫数中第一个也是最小的一个阿列夫数与超限序数不同，阿列夫数是一系列的超限基数：用于衡量一个集合大小所有的可数无限集合都与 ℵ0 等势。

ω 可作为 ℵ0 的第一个初序：

ℵ₀=card{ω，……ε₀……ζ₀……η₀……Γ₀…………}

P(ℵ₀)= ℵ₁

ℵ₀与ℵ₁中间没有别的基数这叫连续统假设(CH)

P( ℵₙ)= ℵₙ₊₁

这叫广义连续统假设(GCH)

在ZFC公理系统中，它不可证明真，也不可证明假(但是如果V=终极L，(广义)连续统假设成立)

如果连续统假设不为真我们也可以推出：ℵₙ=∩{x∈On：|ℵₙ₋₁|＜|x|}

ℵα=∪ₓ∈ₐ ℵₓ，其中α是一个极限序数ℵ₁是全体实数也就是直线(数轴)上所有点的集合ℵ₃是三纬中所有立体图形(以及曲线)的集合！(所有曲线的泛函)(准确来说并不是曲线集合)

ℵω={ℵ₀，ℵ₁，ℵ₂，……}相当于把ω中的元素一一对应成ℵ数这也是：

cf(ℵω)≠ℵω的原因(不是正则基数)cf是取最短长度……

在集合论这一数学分支里，阿列夫数，又称艾礼富数，阿列夫数是一连串超穷基数。

其标记符号为 ℵ （由希伯来字母 ‎א‎ ‎演变而来）加角标表示可数集（包括自然数）的势标记为ℵ0 ，下一个较大的势为ℵ1 ，再下一个是ℵ2，以此类推。

一直继续下来，便可以对任一序数 α 定义一个基数。

构造性定义：

阿列夫数的直观定义并没有解释什么叫“下一个较大的势”，也没有证明是否存在“下一个较大的势”。

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