特殊篇章（数学解释）一 (4-1)

I3~I0

我们知道I1说的是存在一个非平凡初等嵌入j：V_κ+1→V_κ+1，I1基数就是嵌入的关键点crit(j)。

而我们已经证明了ZFC中不存在κ使得非平凡初等嵌入j：V_κ+2→V_κ+2。

很显然，κ+1和κ+2仅仅只有一步之遥，所以I1基本上就是ZFC允许的最高大上的一类无穷基数。

I0比I1稍微强了那么一丢丢，但仍然保持在V_κ+2以下，属于榨干最后一滴油水的设计。

但这个高大上指的是一致性强度上的高大上，不代表其中某一个特定的基数是最大的数字。

事实上如果存在一个I1基数，最小的∑2正确基数将会大于这个I1基数。

但∑2正确基数的一致性强度非常低，你要知道整个正确基数(∑n，n∈N)的一致性强度仅仅和ZFC相同，甚至低于存在一个世界基数。

这就说明了一个基数的绝对数值大小和这一类基数的强度并不是一码事。

但无论如何，第一个I1基数的绝对数值也不会小，因为它至少是不可达基数，马洛基数等等，这些基数之大是有直接套娃作为背书的。

之后还会有更强大的大基数。

伯克利基数

该基数是在ZF集合理论的背景下定义的概念，不符合选择公理。

它具有比莱因哈特更强的极大性，同时也是所有被学术界正式承认的大基数里强度最高的一个。

若κ为伯克利基数，则对于任何带κ的传递集k∈M和任何序数α＜κ，都有一个初等嵌入j：M＜M和crit j＜κ。

若κ是正则的，且对于所有club→C⊆κ和所有带κ的传递集M∈M；有j∈ε(M)和crit (j)∈C，则称κ为极限伯克利。

广义反射原理：指存在 j：(Vκ，Vκ+1)→(V，C) ，其中 C 是适当的真类的汇集。

二阶伯克利基数：将定义中的“所有传递集”改为“所有传递类”得到的伯克利基数。

高阶正确基数：将定义中的“一阶集合论公式”改为“高阶集合论公式”。

高阶莱因哈特基数：同高阶正确基数。

高阶伯克利基数：假设存在伯克利基数并且有一个世界基数 κ 大于它，那么对任意序数 α ，定义在 Vκ+α 上的相对于Vκ 的 α 阶集合论公式的量词辖域内的“传递集” M 均有 j：M→M 。

Ⅴ

集合宇宙（V）的一个层次结构，这个结构是基于序数（ordinal number）来定义的。

这种表示方式称为 Von Neumannhierarchy。

在这个层次结构中，V_λ 表示一个特定的集合宇宙，它是根据序数 λ 来定义的。

当 λ = a+1 时，V_λ = P(V_a)，表示V_λ 是 V_a 的幂集（power set）。

幂集包含一个集合的所有子集（包括空集和本身）。

当 λ 为极限序数时，V_λ = ∪_k＜λV_k，表示 V_λ 是 V_k 的并集，这里 k能够遍历所有序数。

并集（union）是将两个或多个集合的元素合并在一起组成的新集合。

V_0 = ∅，表示空集是第 0 个集合宇宙。

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