直觉主义完全性（逻辑论文） (11-5)

D₁ D₂

∃xψ φ

────────

φ

其中a满足如下条件：第一，a不在∃xψ中出现；第二，a不在φ中出现；第三，a不在D ₂，的除ψ (a / x)以外的前提中出现。这些条件保证了a的「任意性」，也保证了D ₂，的结论φ独立于a。这些条件满足后，对任何项t，我们都能依据D ₂ 从 ψ (t / x) (和D ₂ 的其他前提) 得到φ。

设D ₁，和D ₂，的前提集分别为 Φ ₁ 和Φ ₂ ∪{ψ (a / x) }，则D的前提集Φ＝Φ，∪Φ₂ 。

对于D ₁ 的归纳假设为：Φ ₁╟∃xψ。对于D ₂ 的归纳假设为：Φ ₂ ∪ {ψ(a / x) } ╟φ，即对𝕶中任意状态i，任何t∈D (i)，如果𝕶 (i，Φ ₂ ∪{ψ (t / x) } )＝T，则𝕶(i，φ)＝T。

现在假定𝕶 (i，Φ)＝T，我们要证𝕶 (i，φ)＝T。根据Φ ₁ ⊆Φ 和对于D ₁ 的归纳假设，存在t∈D (i)，使得𝕶 (i，ψ ( t/ x) )＝T。再由Φ ₂，⊆Φ，我们有𝕶 (i，Φ ₂ ∪ {ψ (t / x) } )＝T。最后根据对于D ₂ 的归纳假设，𝕶(i，φ)＝T。

量词规则的其他两种情形，留作习题。

我们把𝕶中 i 状态下为真的语句集

{φ│𝕶 (i，φ)＝T}记为Th (i)。从可靠性定理，我们得到以下的系理：

8.3.3 系理 对任何𝕶和𝕶中任何 i，如果Th (i)

￾ ᵢ φ，则φ∈ Th (i) 。

证明：设Th (i) ￾ ᵢ φ。根据可靠性定理，Th (i) ╟φ。因此，对𝕶中任何 j，若𝕶 (j，Th (i) )＝T，则𝕶(j，φ)＝T。特别地，𝕶(i，Th (i) )＝T，所以𝕶 (i，φ)＝T，即 φ∈Th (i) 。

所以，Th (i) 包含了它能推出的所有结论，或者说，它对直觉主义推演是封闭的。

8.3.4系理 如果是原子语

句，则Th(i) ￾ ᵢ φ⇔φ∈A (i)。

证 明：

Th(i)├ ᵢ φ⇔φ∈Th(i) (系理8.3.3)

⇔𝕶 (i，φ)＝T (Th(i)定义)

⇔ φ ∈ A(i) (φ是原子句，定义8.2.2-1)。

这就是说，我们从Th (i) 推不出不在 i 状态中为真的原子语句。一个状态的基本知识，不因推理而增加。

我们在前面诸章中一直声言，排中律、双重否定等经典逻辑定理不是直觉主义逻辑定理，但始终未证明这一点。现在我们可以方便地给出证明。

8.3.5系理 并非对任意语句φ，￾ ᵢ φ∨φ。

证明：对某原子句 φ，构造下面的简单的 Kripke模型𝕶：

指标集 l＝{i，j}；

≤＝{〈i，j〉}；

A (i)＝∅，A (j)＝{φ}

(在状态 i 中没有原子知识，在状态 j 中原子知识仅为 φ)。

那么，因为A (i)＝∅，所以由

定义8.2.2-1，𝕶(i，φ) ≠T。

又因为A (j)＝{φ}，所以同样由定义8.2.2-1，𝕶(j，φ)＝T。

但i≤j，根据定义8.2.2-2，𝕶(i，φ) ≠T。

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