直觉主义完全性（逻辑论文） (11-6)

于是，𝕶(i，φ) ≠T 且𝕶(i，φ) ≠T。再由定义8.2.2-4，𝕶(i，φ∨φ) ≠T。

因此，并非╟φ∨φ。据可靠性定理，并非

￾ ᵢ φ∨φ。

既然在直觉主义逻辑中，排中律、反证法、二难推理、双重否定消去、皮尔斯律等等相互等价，那么，依据这个系理，它们都不是直觉主义逻辑定理。

8.4完全性

直觉主义逻辑完全性的证明，大体上也采取经典情形下的步骤。我们需要类似前面的极大化引理和可靠性引理，使用 Henkin方法，得到最后的结果。但这里的情况毕竟不同，我们首先定义一个新的概念。

8.4.1 定义语句集Φ称为一个素理论，如果

1) 中是 i-一致的，即存在 φ，并非中Φ￾ ᵢ φ。

2)对任意语句φ，Φ￾ ᵢ φ⇒φ∈Φ ( Φ对直觉主义推演是封闭的)。

3) φ∨ψ∈Φ⇒φ∈Φ或ψ∈Φ。

4) ∃xφ∈Φ⇒φ(t / x) ∈Φ，对Φ的语言的某个闭项t。

素理论的作用，类似于经典情形下的（包含证据的）极大一致集。我们知道，每个经典结构中为真的全体语句构成一个极大一致集。与此类似，𝕶中每个 i 状态下为真的语句集Th (i) 也是一个素理论：首先，由系理 8.3.3，Th (i)对直觉主义推演是封闭的。再由定义 8.2.2，Th (i)满足素理论定义的3) 和4) 。最后，Th (i)推不出矛盾句，否则由它的封闭性，i 状态中就有矛盾为真。

下面的极大化引理相当于前面的「添加证据」与「极大一致扩张」的结合。注意，我们一直在一个固定的语言里谈论语句和语句集，但下面的扩张，涉及到更大的语言。

8.4.2 直觉主义极大化引理设Φ是-语句集，φ是-语句。如果并非 Φ￾ ᵢ φ，那么，存在素理论Ψ，使得Φ⊆Ψ，且并非Ψ￾ ᵢ φ。

证明：首先，往语言里添加可数无穷多个体常项，把扩张为。

其次，我们针对的存在句和析取句，逐步往Φ中添加证据式和析取支。为此，如下归纳定义-语句集的序列Ψ ₀，Ψ ₁，··· ：

1) Ψ ₀ ＝Φ。

2) 假设Ψ ₙ，已经定义，且并非Ψ ₙ ￾ ᵢ φ。

i)如果 n 为偶数，则找到第一个满足Ψ ₙ ￾ ᵢ ∃xψ而且其证据式尚未得到添加的-存在句 ∃xψ。定义Ψ ₙ₊₁＝Ψ ₙ ∪ {ψ (c / x ) }，其中 c 为不在

Ψ ₙ 、ψ 中出现的第一个新常项 (Ψ ₙ，中只含有穷多新常项，因此可以找到这样的 c)。

ii)如果 n 为奇数，则找到第一个满足Ψ ₙ ￾ ᵢ ψ ₁ ∨ψ ₂，而且其析取支尚未得到添加的-析取句

ψ ₁ ∨ψ ₂ 。定义：

Ψₙ∪{ψ₁}4如果并非Ψₙ ∪{ψ₁}├ ᵢφ；

Ψₙ₊₁＝

Ψₙ ∪{ψ₂}否则。

注意，如果Ψ ₙ ∪{ψ ₁} ￾ ᵢ φ，则不会有Ψ ₙ ∪ {ψ ₂} ￾ ᵢ φ。否则据 (∨E)，有Ψ ₙ ￾ ᵢ φ 。这与关于 Ψ ₙ，的假设矛盾。

现在令Ψ＝∪ {Ψ ₙ│ n≥0}。显然，Φ⊆Ψ。

下面验证，并非Ψ￾ ᵢ φ，而且 Ψ 是 (相对于语言的) 素理论。

1) 并非Ψ￾ ᵢ φ，

我们归纳证明：对任意n≥0，并非Ψ ₙ ￾ ᵢ φ。

a) n＝0 时，结果由引理假设保证。

b) 假设并非Ψ ₙ ￾ ᵢ φ。

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