直觉主义完全性（逻辑论文） (11-4)

D ₁ 的结论为ψ ₂，前提比 D 的前提多了一个

ψ ₁ 。此时归纳假设为Φ∪{ψ ₁}╟ψ ₂ 。我们要证：对𝕶中任意状态 i，只要 𝕶(i，Φ)＝T，就有𝕶(i，ψ ₁ →ψ ₂)＝T。

设𝕶(i，Φ)＝T。根据单调性引理 (8.2.3)，对j∈l，i≤j，我们有𝕶(j，Φ)＝T。如果𝕶(j，ψ ₁)＝T，则𝕶 (j，Φ∪{ψ ₁} )＝T。根据归纳假设，此时有𝕶 (j，ψ ₂) ＝T。由定义8.2.2-5，𝕶(i， ψ ₁ → ψ ₂)＝T。

(∨E) [ψ ₁] [ψ ₁]

D₁ D₂ D₃

ψ₁∨ψ₂ φ φ

─────────

φ

设D ₁、D ₂、D ₃ 的前提集分别

为Φ ₁、Φ ₂、Φ ₃，则Φ＝Φ ₁，∪

{Φ ₂ — {ψ ₁} ) ∪ (Φ ₃ — {ψ ₂} )。针对

D ₁、D ₂、D ₃ 的归纳假设分别为：

(*)Φ ₁ ╟ψ ₁ ∨ψ ₂；

(*) Φ ₂ ╟φ；

(***)Φ ₃ ╟φ。

对𝕶中任意状态 i，设𝕶(i，Φ)＝T，我们要证𝕶 (i，φ)＝T。

由于Φ ₁，⊆Φ，所以𝕶(i，Φ ₁)＝T。根据(*)，𝕶(i，ψ ₁ ∨ ψ ₂)＝T。由定义 8.2.2-4，

𝕶(i，ψ ₁)＝T或𝕶(i，ψ ₂)＝T.

如果𝕶(i，ψ ₁)＝T，那么根据𝕶(i，Φ)＝T，有𝕶 (i，Φ ₂)＝T。再由(**)𝕶(i，φ)＝T。

如果𝕶(i，ψ ₂)＝T，那么根据(***)同理可证，𝕶(i，φ)＝T。

总之，𝕶(i，φ)＝T。

3) D 的最后一步应用量词规则。由于我们只考虑语句组成的推演，所以 (∀l) 和 (∃E) 需要稍作改动，用个体常项代替其中的关键自由变项。但这些常项为了能够保持「任意性」，也必须满足原先对于变项的那些限制条件，具体见以下的叙述：

(∀l) D₁

ψ (a/x)

───

∀xψ

条件是：常项 a 不在前提集Φ中出现。因此，D ₁，实际上是一个推演模式，其前提未规定a有任何特殊性质，换言之，在a的位置上可以代以任何项t而仍然能够从原前提依据D ₁，推

出 ψ (t / x)。因而，我们可以有全称的结论。

此时的归纳假设为：Φ ╟ψ (a /x)。由a的「任意性丨，这意味着，对𝕶中任意状态i，如果𝕶 (i，Φ)＝T，则对任何t∈D (i)，都有𝕶 (i，ψ(t / x) )＝T。

现在假定 𝕶(i，Φ)＝T，我们要证𝕶 (i，∀xψ)＝T。根据单调性引理，对j∈l，i≤j，我们有𝕶 (j，Φ)＝T。由归纳假设，对任何t∈D (j)，𝕶(j，ψ (t / x) )＝T。因此，据定义

8.2.2-6，𝕶(i，∀xψ)＝T。

再考虑D的最后一步应用 (∃E) 的情形。

(∃E) [ ψ(a / x) ]

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