直觉主义完全性（逻辑论文） (11-3)

否定式、蕴涵式与全称式的真假，都与未来状态有关。2) 表明，ψ在某状态下为真 (可证)，意味着ψ不仅在此状态下为假 (无证明)，而且永假 (永无证明)，即荒谬。5) 表明，要确定蕴涵式的真假，我们不必知道前后件的真假，只要前件的证明永远能转换为后件的证明，蕴涵式就是真的 (可证的)。6) 表明，全称式不仅涉及当前状态里的个体，而且包括未来状态的所有个体。其余语句的真假，只与当前的状态有关。

根据2)和3)矛盾句在任何的任何𝕶状态下为假。

从定义可推出如下的「单调性」引理：

8.2.3 引理 设φ是语句。对任意𝕶＝〈I，≤，D，A) 和i，j∈l，i≤j，

如果𝕶 (i，φ)＝T，则𝕶 (j，φ)＝T。

证明：施归纳于φ。假设𝕶 (i，φ)＝T。

1) φ 是原子公式。由定义

8.2.1-4，A(i) ⊆ A (j)。再由8.2.2-1 即得结果。

2)φ为ψ。由定义8.2.2-2 即得结果。

3)φ为ψ ₁ ∧ψ ₂ 。

𝕶(i，φ)＝T

⇒𝕶 (i，ψ₁)＝𝕶 (i，ψ₂)＝T(定义8.2.2-3)

⇒𝕶 (j，ψ₁)＝𝕶 (j，ψ₂)＝T(归纳假设)

⇒𝕶 (j，φ)＝T(定义8.2.2-3）。

4) φ为ψ ₁ ∨ψ ₂ 。与3) 类似。

5) φ为ψ ₁→ψ ₂。令j≤k。如果𝕶(k，φ ₁)＝T，则由于i≤k，有𝕶(k，ψ ₂)＝T。由定义 8.2.2-5，𝕶(j，φ)＝T。

6) φ为∀xψ。令j≤k。由于i≤k，所以对任意t∈D (k)，有𝕶 (k，ψ (t/x) )＝T。由定义8.2.2-6，𝕶(j，φ)＝T。

7) φ为∃xψ。由定义 8.2.1-3

与8.2.2-7 即得结果。

引理说明，我们的知识是单调递增的，命题一旦为真，则永远为真。

8.3 可靠性

模仿经典语义的情形，我们可以定义Kripke语义的后承概念。首先扩展一下术语：如果Φ是语句集，那么我们用𝕶 (i，Φ)＝T表示：对于任意φ∈Φ，𝕶 (i，φ)＝T。

8.3.1 定义设Φ是语句集，φ为语句。如果对于任意的Kripke 模型𝕶和𝕶中任意状态 i，只要𝕶(i，Φ)＝T.就有𝕶 (i，φ)＝T，则称φ是Φ的𝕶-语义后承，记为Φ╟φ。

ø╟φ记为 ╟φ 。这意味着，对于任意的𝕶和𝕶中任意状态 i，都有𝕶(i，φ)＝T。

下面证明，相对于这个语义后承概念，直觉主义逻辑是可靠的。

8.3.2 直觉主义逻辑的可靠性定理 设Φ是语句集，φ为语句。

如果Φ￾ ᵢ φ那么Φ╟φ。

证明：Φ￾ ᵢ φ，当且仅当有直觉主义推演，其前提在Φ中，结论是φ。因此，我们只要证明，对任何这样的推演 D，都有Φ╟φ。下面我们固定𝕶＝〈I，≤，D，A〉，施归纳于 D。

1) D是单点树 φ。此时φ∈Φ，显然有Φ╟φ。

2) D是最后一步应用合取、析取或蕴涵的引入或消去规则，归谬法规则或直觉主义规则 (IN)得到的推演。我们只证明 (→I) 和 (VE) 的情形。其他情形留作习题。

(→I) [ψ ₁]

D₁

ψ ₂

────

ψ ₁ → ψ ₂

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