数学论文（关于集泛多重宇宙） (12-9)

通过（4.1），MZFC证明了“{v}”的闭包M的（唯一）存在性强制下扩张和“ZF”的可定义“内部模型”（此处设置“ZF因为我们只能在元数学中争论“内部模型”满足每个替换实例）。注意M⊆Hℵ1.

这里的“内部模型”实际上在LZF中被表述为“传递的几乎普遍的”子集在G模型操作下关闭”。如果我们有v|=ZFC，我们会根据[13]中的定理13.9，在这个意义上v的任何内部模型w的w|=ZF。在里面

然而，MZFC，对于ZFC的每个公理，我们只有v|=ξ（在元数学中）。然而，对于所有这样的“内部模型”w，因此对于所有w∈M，通过定理13.9的证明，我们得到ZF的所有公理[13]和强迫定理。显然，这足以考虑M这个框架作为集合的通用多元宇宙。

类似地，我们也可以从ZFC的任何扩展开始（例如，用一些额外的大基数公理），并使M在更多的运算下闭合例如一些很好区分的类强制扩展类。

下面的定理表明，我们不增加一致性强度通过从ZFC移动到MZFC。

定理4.1。MZFC是ZFC的保守扩展：对于中的任何句子ψLZF，我们有ZFC⊢ψ⇔ MZFC⊢ψ。特别地，MZFC是等一致的使用ZFC。

证据“⇒” 是微不足道的。

对于“⇐”, 假设LZF中公式ψ的MZFC⊢ψ。设P为由MZFC证明ψ，设T为ZFC的有限片段ZFC的公理Γ使得v|=Γ出现在P中。设Φ（x）是中的公式LZF说“x是可数传递集，x|=∧∧T”。

通过演绎定理，我们可以把P重新定义为ZFC的一个证明⊢∀x（Φ（x）→ψ).另一方面，我们有ZFC⊢∃xΦ（x）（根据反射原理，向下的L¨owenheim-Skolem定理和Mostowski的坍缩定理）。

因此，我们仅从ZFC中得到了ψ的一个证明。

（定理4.1）

如果在从元宇宙看多元宇宙只是一个可数集合。当然如果M是ZFC的模型W的内部模型（即传递类⊆W和M，W|=ZFC）总是存在偏序P在M中，W中没有（M，P）-泛型集（例如任何偏序折叠W的基数不能在W中具有其泛型集）。

然而，如果我们满足于一个不是完整模型的元宇宙ZFC，我们可以使用以下设置，其中的每个“元素”集合通用多元宇宙是元宇宙的内部模型：从具有不可访问基数κ的ZFC的模型V，我们一般将其扩展到W=V[G]通过L´evy将κ坍缩为ω1。设M=H（κ）V，我们有M|=ZFCM是W=H（κ）V[G]=H（ω。W|=ZFC−功率集公理，并且对于M中的任何偏序P，在中存在一个（M，P）-泛型集W的一个新的一元谓词对应的NBG型理论到M可以作为集合一般多元宇宙理论的框架（它是通过考虑M的所有集合一般基而获得的，然后所有它们的集合泛型扩展等）作为W中类的“类”类似的想法也在[19]中进行了讨论。

5 . 个独立按钮

多元宇宙的观点有时会突出一些永远不会被问到的问题在强制构造的传统上下文中。无限的存在许多独立的按钮与角色有关集合一般多元宇宙的模态逻辑（见[12]）就是这样一个问题。

如果地面模型V的任何集合泛型扩展V[G]具有进一步的集合泛型扩展，则LZF中的句子ξ被称为按钮（用于集合泛型）V[G][H]，使得在V[G][H]的所有集合泛型扩展中。让我们说在集合的通用扩展V[G]中按下一个按钮，如果设置V[G]的泛型扩展V[G][H]（包括V[G]本身）。

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