数学联邦政治世界观
超小超大

数学论文(关于集泛多重宇宙) (12-10)

公式ξn,n∈ω是独立的按钮,如果Γn,n∈ω未按下按钮,并且对于地面模型V的任何集合的通用扩展V[G]和任何V[G]中的X⊆ω,(5.1)如果{n∈ω:V[G]|=Γn被推}⊆X,则存在一个集泛型扩展V[G][H],使得{n∈ω:V[G][H]|=Γn被推}=X。

在[12]中,声称公式bn,n∈ω在V=L上形成独立按钮的无限集,其中bn是断言:“ωnL不是大基数”。这被用来证明强迫的原理在作为Kripke框架的集合论多元宇宙的模态逻辑运算符被解释为:(5.2)M|=⇔ 在M的所有集合泛型扩展M[G]中,我们有M[G]|=与模态理论S4.2([12]中的主要定理6)一致。

不幸的是,似乎无法保证(5.1)在这些bn,n∈ω的任意集广义扩张V[G]。

在下文中,我们引入一组无穷多公式实际上是ZFC+“GCH的任何地面型号的独立按钮在下面ℵω” + “ℵn=ℵ自然对数对于所有可用作bn的n∈ω“,n∈Ω在[12]中。

我们首先注意到,对于[12]中的主定理6,我们实际上只需要存在任意有限数量的独立按钮。假使V=L以下公式可用于此:设ψn为语句那个ℵ自然对数是基数和L-东ℵ自然对数-Suslin竖TnL在L(即L东正常高度竖ℵ没有大小反链的Lnℵ自然对数在L)是静止的ℵ自然对数-Suslin。如果M是L的集一般(或任意)扩展,其中按钮ψn具有没有被按下,那么通过用TnL对M强制,我们按下这个按钮不影响任何其他未按下的按钮ψm,m≠n、 因为这种强迫ℵn-分布并且具有大小ℵn.里特伯格[18]还发现了独立的按钮在V=L下。

现在我们转向无限多个独立按钮的构造我们甚至不需要Suslin树的存在。对于n∈ω,设ξn为声明:

(5.3)有来自ℵn+2L到P(ℵnL).

注意,在一个集合泛型扩展V[G]中,当且仅当它成立在V[G]中。因此,每个n∈ω的Γn是一个按钮,前提是Γn不成立在地面模型中。我们证明了这些ξn,n∈ω是独立的按钮(在它们未冲压的任何地面模型上——例如,当V=L时)。

假设我们在ZFC的某个模型W中工作。在W中,设A={n∈ω:Γn成立}和B与A⊆B是任意的。这足以证明下列的提案5.1。我们可以强制(在W上),对于所有n∈B和对于所有n∈ω\B。

证据在W中,设κn=|ℵnL|对于n∈ω。我们在上使用[16]的记法具有偏序函数的偏序,并用Fn(κ,λ,µ)表示所有从κ到λ,基数<µ的偏函数通过反向包含排序。

通过∆-系统引理,很容易看出Fn(κ,λ,µ)具有(λ<µ)+-c.c.设

(5.4)

Pn={Fn(κn+2,2,κn)如果n∈B\A1l否则。

设P=∏n∈ωPn是的全面支持产品Pn,n∈ω。然后我们很清楚有k–P“ ϕn“对于所有人n∈B。从而证明P创建通用扩展正如所期望的那样,它足以证明对于所有n∈ω\B,k–P“,Γn”。

假设(5.5)n∈ω\B。

然后我们有(5.6)Pn=1l。

由于ξn在W中不成立,我们在W中有κn<κn+1<κn+2和2κn=κn+1W.根据(5.6),P因子为P~P(<n)×P(>n),其中P(<n)=∏k<nPk和P(>n)=πk> nPk。

我们展示了两者

P(>n)和P(<n)超过P(>n)不添加任何注射κn)。

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