数学论文（关于集泛多重宇宙） (12-8)

f(t)

is one of the deduction rules.　

我们必须在这里强调，在（3.5）中，我们不假设函数f是一对一的，否则我们必须为中的每个公式选择一个证明在（R1）和（R2）的前提中的集合。因此，例如，我们可以推断T⊢在S中的∧∧Φ来自T⊢ξ，对于所有的Γ∈Φ而不吸引AC。

现在，以下内容的证明是一个简单的练习：

3.1号提案 .（1） 对于任何B⊆µ，T \8838 L∞（µ）和ξ∈L∞并且B|=T，那么我们有B|=ξ。

（2） 对于ZF的传递模型M、N使得M是N的内部模型，如果M|=“hT，fi是在L∞（µ）中的一个证明”，则N|=“hT，fi是在L∞（µ）中的一个证明”。

证据（1） ：通过对固定证明h T，fi的共尾子树的归纳。(2):明确定义。

（3.1号提案）

通过演绎系统进行论证的另一种设置是在引理的证明中利用M|=“Γ2.4:

M|=“Γ⊢ξ”当对于某个集合中的任意B⊆µ强制扩展M[G]M、 对于所有ψ∈Γ，M[G]|=B|=ψ总是意味着M[G]|=B|=Γ。

注意，这在M中是可定义的，使用在M上可定义的强迫关系。

这一概念是否具有所期望的绝对程度还有待验证。

实际上，我们可以很容易地证明完全绝对性，也就是说，如果N是可传递的包含M的模型，其序数与M的序数相同，则对于Γ，Γ∈M。当M|=Γ⊆L∞（µ）和M|=ξ∈L∞在N中。

首先假设B⊆µ是集合泛型扩展N[G]中的一组序数使得B见证了Γ⊢Γ在N中的失败。设x是实数足够大的Γ到ω的L´evy坍缩的一般性在N上使得Γ和µ在一般扩展N[x]中成为可数的。那么x也是L´evy泛型并且M[x]是N[x]的子模型。根据L´evy绝对性，它遵循M[x]中存在B′⊆µ，这也见证了Γ。

相反，假设Γ⊢ξ在N中成立，并设B⊆µ是一组序数在M的一个集合泛型扩展M[G]中，使得B见证Γ在M中，那么B也属于M的一个推广，它对L´evy是通用的足够大的Γ到ω的坍缩；在这个强制中选择一个条件p强制这样一个B的存在。现在如果x是N上的L´evy泛型，并且包含在条件p中，我们看到在N中存在Γ

在N[x]中，与我们的假设相反。

通过对⊢的两种解释，我们可以检查中的论点第2节通过。

4 . 集合一般多元宇宙的公理化框架

在这一节中，我们考虑集合泛型的一些可能的公理化处理多元宇宙。这种公理化处理也在例如[9]、[19]、[22]中进行了讨论。

我们引入了ZFC的一个保守扩展MZFC，其中我们可以处理集合的多元宇宙ZFC模型的一般扩展作为的集合可数传递模型。该系统或其进一步扩展（也可能处理温和的阶级强迫）可以用作直接的基础关于多元宇宙的表述。

公理系统MZFC的语言LMZF由ǫ-关系组成符号‘∈’，和一个常数符号‘v’，它应该表示可数可传递的“地面模型”。

公理系统MZFC包括

（4.1）ZFC的所有公理；

（4.2）“v是一个可数传递集”；

（4.3）对于ZFC的所有公理的“v|=ξ”；

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