数学论文（关于集泛多重宇宙） (12-7)

我们在这里的一项特殊任务是，我们必须制定我们的推理系统使得S不依赖于AC，从而我们可以将其应用于内部模型M其不一定满足AC以获得推论2.5。

回想一下，我们已经引入了L∞（µ）作为包含设hα，0i，α∈µ为预失真“α∈˙A.

“对于α∈µ和闭关于hΓ，对于Γ∈L∞（µ）为1i，对于所有集Φ⊆L∞hξ，1i和hΦ，2i表示，和分别为∧∧Φ。这里，更准确地说关于无限连接词的作用我们加上无限逻辑连接词∧∧，并假设∧∧Φ由编码hΦ，3i，因此L∞（µ）也是闭合的关于hΦ，3i适用于所有Φ⊆L∞（µ).

The axioms of S consist of the following formulas:

(A1) φ(φ₀，φ₁ ...，φₙ₋₁)

for each tautology φ(A₀，A₁ ...，Aₙ₋₁) of (finitary) proposit ional logic and

φ₀，φ₁...，φₙ₋₁ ∈Ը ∞(lt);

(A2) φ →⨈Φ and ⨇Φ → φ

for any sct Φ ⊂ Ը ∞(μ) and φ ∈ Φ;

（A3）¬(⨇Φ) ↔ ⨈{¬φ：φ ∈ Φ}

¬(⨈Φ) ↔ ⨇{¬φ：φ ∈ Φ}

for any sct Φ ⊆ Ը∞(μ); and

(A4)φ∧(⨈Ψ) ↔ ⨈{φ∧ψ：ψ ∈ Ψ}and

φ ∨(⨇ Ψ) ↔ {φ∨ψ：ψ ∈ Ψ}

for any φ ∈ Ը ∞(μ) and any set Ψ ⊆ Ը ∞ (μ).

Deduction Rules：

{φ，φ → ψ}

(Modus Ponens) ────────

ψ

(R1) {φ → ψ：φ ∈ Φ}

────────

⨈Φ → ψ

(R2){φ → ψ：ψ ∈ Ψ}

────────

φ → ⨇Ψ

A proof of φ ∈ Ը∞(μ) from Γ ⊆ Ը∞(μ) is a labclcd trcc (Τ，f) such that

(3.1) Τ＝ 〈Τ，≤〉 is a tree growing upwards with its root r₀ and Τ with (≤)⁻¹ is well-founded；

(3.2)f：Τ → Ը∞(μ)；

(3.3)f(r₀)＝φ；

(3.4) if t ∈ Τ is a maximal element then either f(t) ∈ Γ or t is one of the axioms of S；

(3.5)if t ∈ Τ and P ⊆ Τ is the set of all immediate successors of t，then

{f(p)：p ∈ P}

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