数学论文（关于集泛多重宇宙） (12-5)

因此T⊢ξ0→∧∧｛，Γ：Γ∈g（Γ）｝，等价于T⊢ξ0→ （Γ）。

由此和（2.13）可知T⊢，ξ0。但这与假设ξ0∈P。

现在，由于Γ是成对不相容的，因此可以得出Γ0=Γ∈g（Γ）。这是与选择的Γ0相矛盾的。

⊣（权利要求2.4.3）在V中，设G（A）=｛ξ∈P:A|=Γ｝。根据权利要求2.4.1，我们有G（A）=｛ξ∈Lλ（µ）：A|=ξ}，并且A可由M上的G（A）定义为{α∈µ：“α∈˙A.” ∈G（A）}。因此我们有M[G（A）]=M[A]。

因此，以下两项权利要求证明了我们的引理：

权利要求2.4.4。G（A）是P中的一个滤波器。

假设Γ∈G（A）且Γ≤Pψ。因为这意味着A|=ξ和T⊢→ ψ、 得出A|=ψ。即ψ∈G（A）。

现在假设Γ，ψ∈G（A）。这意味着（2.14）A|=ξ和A|=ψ。

因此，我们有A|=ξ∧ψ。根据权利要求2.4.1，得出（ξ∧ψ）∈P，即，T╱⊢-（ξ∧ψ）。因此，根据权利要求2.4.2（权利要求2.4.4）

权利要求2.4.5。G（A）是P-一般的。

⊢在M中工作，假设Γ是P中的最大反链。根据权利要求2.4.3，我们有|Γ|＜κ，因此我们有∧∧Γ∈Lλ(µ)因此∧∧Γ∈P：对于Γ∈Γ，由于ξ∈P，我们有T ╱⊢，Γ和⊢ ϕ→∨∨Γ.如下所示T╱ ⊢∨∨Γ.

此外，我们有T╱⊢∨∨Γ：否则∨∨Γ将是的一个元素P与每个Γ∈Γ不相容。Γ的最大性的矛盾。

因此A|=∧∧Γ，因此存在Γ∈Γ使得A|=ϕ.也就是说，Γ∈G（A）。

⊣（权利要求2.4.5）（引理2.4）

引理2.4定理2.3的证明依赖于引理2.2和选择公理既涉及引理2.2的陈述，也涉及引理的证明。

另一方面，引理2.4可以在不假设公理的情况下被证明M中的选择：从权利要求2.4.5的证明中消除选择就足够了。

权利要求2.4.5在M中无选择公理的证明：工作M、 假设D是P的稠密子集。那么a|=∧∧D：否则我们

会有T ╱⊢∧∧D。自从（2.15）T⊢∧∧D↔∨∨g（D），因此，T╱⊢∨∨g（D）。自从∨∨g（D）∈Lλ（µ），这意味着∨∨g(D)∈P

由于D在P中存在Γ0∈D使得T⊢ξ0→ ¬∨∨g（D）).通过（2.15），

因此T⊢ξ0→ ¬∧∧D。另一方面，由于ϕ0∈D我们有T⊢ξ0→∧∧D。因此，我们有T⊢ ¬ϕ0，这与ϕ0∈P.

因此ξ1∈D使得A|=ϕ1，即Γ1∈G（A).

（权利要求2.4.5，不含M中的AC）

这句话的下一个推论是：

推论2.5。在NBG工作。假设V是ZFC的一个模型，M是V（ZF）的内部模型，使得Mκ-全局覆盖V。如果V=M[A]对于某些集合A⊆On，则V是M的κ-c.c.集的一般扩展。

如果没有额外的假设，我们不知道推论2.5是否为假V是一组序数A的M[A]。

更一般地说，如果存在ZF的任意模型的集泛型扩展的特征，则它似乎是开放的；或者至少是这样的扩展由在地面模型中良好有序的偏序给出。

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