数学论文（关于集泛多重宇宙） (12-3)

如果δ=β+1，那么，由于M|=“qβ不决定˙S“由元素性对于M，存在ξ∈OnåM和q，q′∈PåM与q，q’≤Pqβ，使得q k–P“ξ∈˙S“和q′k–P”ξ6∈˙S”.其中至少有一个，比如q，必须是与p不相容。则qδ=qβ·−q是所需的。

⊣（权利要求2.2.1）（引理2.2）

注意，翻译成完全布尔代数的语言上面的引理只是断言没有κ-c.c.无原子布尔代数B是（2＜κ, 2)-分配的。

假设我们现在在NBG中工作，V是ZF和M的传递模型ZF在V中的内部模型（即M是具有（M，∈）|=ZF的传递类⊆V）。

对于M中的正则不可数基数κ，我们说Mκ-全局覆盖V。如果对于dom（f）∈M和rng（f）⊆M的每个函数f（在V中），存在一个函数g∈M且dom（g）=dom（f）使得f（i）∈g（i）且M|=|g（i＜κ对所有i∈dom（f）。

定理2.3（L.Bukovsk´y，[3]（2））。假设V是的传递模型ZFC，M⊆V是ZFC的内部模型，κ是正则不可数基数在M中，则Mκ-全局覆盖V当且仅当V是κ-c.c.集泛型M的扩展。

正如论文的裁判所指出的，这个定理可以被公式化得更多自然地在von Neumann-Bernays-G模型类理论（NBG）中，自ZFC的框架——这个定理只能表示为一个元定理，也就是说，作为一个定理的集合，由每个定理的相应语句组成该公式可以定义内部模型M。

定理2.3的证明：如果V是M的κ-c.c.集的一般扩展，比如通过一个偏序P∈M，其中M|=“P具有κ-c.c.”，则很明显Mκ-全局覆盖V（对于如上所述的f，设fΓ∈M是f的P-名，g是通过让g（α）是f（α）可以取的所有可能值的集合来定义）。

相反的证明是通过下面的引理2.4来完成的。注意，根据Grigorieff定理（见下面的推论2.6），这个引理的陈述是Bukovsk´y定理的结果：

引理2.4。假设M是ZFC的传递模型V的内部模型使得Mκ-全局覆盖M中某些κ正则不可数的V。然后对于任意A∈V，A⊆On，M[A]是（3）M的κ-c.c.集的一般扩展。

注意，M[A]不是一个集泛型外伸很容易发生。例如，0#存在并且M=L，则M[0]不是集合泛型M的扩展。

我们首先证明定理2.3遵循引理2.4。假设Mκ-全局覆盖V。我们必须证明V是κ-c.c.集的泛型扩展在V中，设λ是正则基数，使得λ<κ=λ和A⊆关于集，使得（2.6）（P（λ））M[A]=（P（波长））V。

那么，根据引理2.4，M[A]是M的κ-c.c.泛型扩展，因此我们有M[A]|=“κ是正则基数”。实际上我们有M[A]=V。否则存在一个B∈V\M[a]且B⊆On。由于M[a]κ-全局覆盖M[A][B]，我们可以在这对上应用引理2.4，并得出M[A][B]是M[a]的一个（非平凡的）κ-c.c.一般扩展。根据引理2.2，有一个新的M[A][B]中P（（2＜κ）M[A]）⊆P（λ）的元素。但这与（2.6）相矛盾。（定理2.3）

引理2.4的证明：我们在M中工作，并构造了κ-c.c.偏序使得M[A]是M上的P-一般扩展。

设µ∈On为A⊆µ且设L∞（µ）为不定式句子原子句逻辑(2.7) “α ∈˙A.

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