数学论文（关于集泛多重宇宙） (12-2)

集合通用多元宇宙的直接公式需要不能在通常的框架中处理的类的“类”概念ZF集合论，但是，正如开头所强调的，关于集合泛多元宇宙的定理实际上是关于ZFC的元定理。然而，我们也可以考虑一个理论，它是ZFC的保守扩展，其中集合是泛型的扩展和集合通用地面模型是理论和将通用多元宇宙设置为可定义类。在第4节中，我们考虑这样一个系统并证明它是ZFC的保守推广。

多元宇宙的观点有时会突出一些永远不会出现的问题在强迫结构的传统上下文中被问及（参见[11]）。一体

例如，我们在第5节中考虑无限的存在性问题许多独立的按钮（在[12]的意义上）。

2. Laver定理和Bukovsk´y定理

在强迫语言中，我们经常不得不表示某个集合已经在地面模型，例如：p k–p“。

˙x处于V和…”。在里面在这种情况下，我们总是可以找到一个足够大的序数ξ，使得问题应该在地面的累积层次中找到模型因此，我们可以将上面的陈述重新表述为就像p k–p“。

˙x∈Vξ和…”这是强迫的合法表达语言这可能是最近才证明的原因之一。

地面模型总是可以在任意集合的一般扩展中定义的：

定理2.1（R.Laver，[17]，H.Woodin[23]）。中有一个公式LZF使得，对于ZFC的任何传递模型V和集合的泛型扩展V的V[G]存在一个∈V，使得对于任何b∈V[G]b∈V⇔ V[G]|=ξ*（a，b）。

Laver定理的一个重要推论是ZFC的模型最多可以有可计数的多个集合强迫的地面模型。

Bukovsk´y定理给出了的内部模型M的自然特征V，使得V是M（1）的集合一般扩展。注意，根据Laver定理，

定理2.1，这样的M在V中是可定义的。然而，内部模型MV的一个类可以被引入冯-诺伊曼-贝奈斯-G模型的意义上类理论（NBG），在这种情况下，M在V中的可定义性可能不是立即清除。

让我们从以下关于κ-c.c.泛型扩展的观察开始。如果偏序的每个元素至少有两个彼此不兼容的扩展。

引理2.2。设κ是正则不可数基数。如果P是κ-c.c.无原子偏序，则P添加2的新子集＜κ.证据在不失一般性的情况下，我们可以假设P由正κ-c.c.无原子完全布尔代数的元素。请注意，P添加了新的On的子集，因为P添加了一个新的集合（例如（V，P）-泛型集合）。假设˙S是On的一个新子集的P-名。设θ是一个足够大的正则基数设M≺H（θ）为(2.1)|M|≤2＜κ;(2.2)＜κM⊆M和(2.3)P˙S，κ∈M。

设T是一个P-名称，使得k–P“T”=˙SåM”。通过（2.1），就足以表明其中V表示地面模型：

权利要求2.2.1。k–P“T*6∈V”。

⊢否则将存在p∈p和T∈V，T⊆On使得(2.4)p k–p“T*=T”。

我们在下面证明，然后我们可以在PåM中构造一个严格递减序列hqα：α＜κi，使得(2.5)所有α＜κ的p≤Pqα。

但由于{qα·−qα+1:α＜κ}是P的成对不相交子集，因此与P的κ-c.c.相矛盾。

假设已经构造了一些δ＜κ的hqα：α＜δi。如果δ是极限，设qδ=πα＜δqα。那么我们有p≤Pqδ和qδ≤P对所有α＜δ的qα。自从hqα：α＜δi∈M通过（2.2），我们也有qδ ∈M.

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