康托尔悖论 (6-5)

元语言具有对象语言所没有的原始概念、公理及规则，使得某些定理在对象语言中不可证明，在元语言中却可证明。

一般认为不可定义定理是由塔斯基给出的。

尽管哥德尔在1930年证明不完备定理的期间也发现了不可定义定理，远早于塔斯基的发表，但是哥德尔并未发表自己有关不可定义性的发现，仅在1931年致约翰·冯·诺伊曼的信中提到它。

塔斯基在1929至1931年间完成了他大部分的论文成果，并向波兰的听众演说。

这篇论文就是1936年发表的《形式化语言中的真理概念》（DerWahrheitsbegriff in den formalisiertenSprachen）。

然而，正如他在论文中所强调的，不可定义定理was the only result notobtained by him earlier.根据论文中不可定义定理的注解（Satz I），这个定理及其证明的草稿是在送印前才加进论文中的。

他在1931年3月21日向波兰科学院（Warsaw Academy of Science）进行论文演说时，仅写下一些猜想，而没有提到他基于自己的研究与哥德尔的简报所完成的《元数学的完备性与相容性的一些结果》（Einigemetamathematische Resultate überEntscheidungsdefinitheit undWiderspruchsfreiheit）。

定理的内容

我们在这个小节会给出塔斯基定理的简易版，接着在下个小节才会论及塔斯基在1936年的完整证明。

令L为一阶算术语言，令N为L的标准结构。这样，(L,N)就是“一阶算术直译语言”。

L中的每个句子x都有各自的哥德尔数g(x)。

令T为L中基于N为真的句子的集合，而T*为T中的句子的哥德尔数的集合。

现在的问题是：一阶算术的句子可否定义出T*？

塔斯基不可定义定理的回答是：没有任何L中基于N为真的式子定义出T*，亦即，没有任何L中基于N为真的式子使得对任何L中的式子A，有g(A)为真若且为若A为真。

简单来说，这个定理告诉我们：我们不可透过任何形式算术本身的表达能力定义出这种形式算术中的真理概念。

这指出了自指范围的主要限制。

我们不可定义出extension为T的基于N为真的式子，不过我们仍可透过表达能力超越L的元语言来达到这点。

例如：二阶算术可定义出一阶算术的真谓词。

可是元语言只可定义出对象语言中的句子的真谓词。

我们必须以更高阶的元语言（即元语言的元语言）来定义元语言的真谓词，这样的定义方式是永无止尽的。

这个定理算是波斯特定理（Post'stheorem）在算术阶层中的引理。

这个定理是继塔斯基不可定义定理发表数年后完成的。

在波斯特定理的基础下，我们可透过归谬法给出塔斯基定理的语义证明如下： 假设T*是算术上可定义的，那么，我们可透过自然数n将T*定义在算术阶层的第阶。

然而，对任何k，T*都是。

这样，算术阶层就在第n阶崩溃，违反波斯特定理。

探讨

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。