康托尔悖论 (6-4)

这些悖论的出现，可以说是康托尔集合论的必然结果。

实际上在19世纪末，康托尔本人就已发现自己理论中有不少矛盾，但他没有声张，而是悄悄地在利用。

由上可知，有1个元素的集合其子集有2个，有2个元素的集合其子集共有4个，一般地，有n个元素的集合其子集有2^n个,n个元素的集合其基数为n，而其所有子集组成的集合的基数为2^n ，显然2^n＞n。

因此有“康托尔定理”：任意集合（包括无穷集）的幂集的基数大于该任意集合的基数。

据康托尔集合理论，任何性质都可以决定一个集合，这样所有的集合又可以组成一个集合，即“所有集合的集合”（大全集）。

显然，此集合应该是最大的集合了，因此其基数也应是最大的，然而其子集的集合的基数按“康托尔定理”又必然是更大的，那么，“所有集合的集合”就不成其为“所有集合的集合”，这就是“康托尔悖论”。

对这一悖论，康托尔并没有感到害怕，因为通过反证法恰恰证明没有“所有集合的集合”或者说“最大的集合”，当然也没有“最大的基数”。

悖论的出现这时并没有引起多大的震动，人们觉得这似乎仅仅牵涉到集合理论的一些技术问题，只要作适当的修正，集合论仍然会成为数学大厦的基础，康托尔只是利用悖论进行反证，而并没有细究悖论的来源及意义，他没有意识到这种反证之所以可能，是因为他的理论中所使用的基本概念“集合”、“属于”、“元素”是包含着矛盾的。

1901年罗素发表的“罗素悖论”则“剥掉了数学技术性的细节”，使其中的矛盾赤裸裸地暴露出来了！

悖论

《古今数学思想》书中 (第四册289页)指出：二十世纪数学中最为深入的活动，使关于基础的探讨，强加于数学家的问题，以及他们自愿承担的问题，不仅牵涉到数学的本质，也牵涉到演绎数学的正确性。

在这世纪的前期，有几种活动汇合起来把基础问题引到一个高潮，首先是矛盾的发现，委婉地被称为悖论，在集合论中尤为突出。……。

塔斯基不可定义定理

社会科学术语

塔斯基不可定义定理，库尔特·哥德尔在1931年发表了著名的哥德尔不完备定理，他一部分是透过一阶算术逻辑的语义表达技巧来完成定理的证明。

中文名

塔斯基不可定义定理

提出者库尔特·哥德尔

目录

1 发展历史

2 定理的内容

3 探讨

发展历史

在他的算术语言中，每条表达式都配有各自的编码。

这个过程称为“哥德尔编码”，而每组表达式也可配有各自的编码组。

如此一来，各种语义属性（例如：当成式子或当成句子）变成可计算的。

我们就可透过算术式定义任何可计算的编码组，具体而言，我们可用算术语言中的某些式子（即公理）为算术句子及可证明的算术句子定义出编码组。

塔斯基不可定义定理则表明：这种编码不能带给我们语义的概念，例如：真理的概念。

这表明：世上没有任何直译语言足以表达出它本身的语义。

我们可推论出，元语言必须具备超越对象语言的表达能力，才可表达出对象语言的语义。

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