数学联邦政治世界观
超小超大

康托尔悖论 (6-3)

如男学生集、女学生集、团员学生集、参加英语学习小组学生集等等。

那么给定一个集,能组成多少个子集呢?我们具体看一下,例如:

{1}可有{}、{1}2个子集;

{1,2}可有{}、{1}、{2}、{1,2}4个子集;

{1,2,3}可有{}、{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}8个子集。

依次类推,可以看出,一个含有n个元素的集合有2^n个子集。

需要注意的是,在集合论中,对于集合有多少元素没有限制,所以会出现只有一个元素的或没有元素的子集(空集),原集本身也是自己的子集。

所以当我们问原集能有多少个子集的时候,空集和原集也须计算在内。

一个集合的所有子集也可以组成集合,这个集合叫做原集的幂集。

例如{张三,李四}这一集合的幂集就是

{{}{张三},{李四},{张三,李四}}。

两个或两个以上的集合还可以通过运算形成新的集合。

例如英语考试优秀的学生集A={赵丽,王芳,陈凤},数学考试优秀的学生集B={朱军,王铭,王芳}。

这两个集可以相加组成集C,它既包含了A的元素,又包含了B的元素,这个集就是{赵丽,王芳,陈凤,朱军,王铭}。

这个集称为A和B的并集。

注意的是,王芳在上面的集中不必写两次,只要写一次就说明她是C的元素了。

因此C的基数并不等于A的基数加B的基数,而是二者相加后再减去共同的元素。

文艺委员盂娟在作统计时实际上就是把3个子集进行相加,但要把3个子集的基数相加后再减去共同的元素才能等于初二·三班的总人数。

而孟娟只是简单相加,忘记了应减去相同的元素,难怪要多出8人了。

集合A和B还可以相乘得一新集合D,D是由于A、B中共同的元素组成的集即{王芳},D称为A和B的交集。

以上是康托尔集合论的一些基本概念。

当时德国数学权威、他的老师克洛耐克的攻击尤为激烈。

他说:“康托尔走进了超穷数的地狱。”

他有一句名言:“上帝创造了正整数,其余的是人的工作。”

就是说,人只能在正整数的有穷范围内研究,至于无穷的世界则完全超乎人的能力之外。

甚至不承认康托尔为他的学生。

在这种情况下,康托尔长期受到压抑和排挤,竟然得不到柏林大学的教授职位,他郁郁不得志,一度精神崩溃,放弃数学的研究,后来终于在一家精神病院去世。

然而康托尔集合论的创立是人类思维发展史上的一座里程碑,它标志着人类经过几千年的努力,终于基本弄清了无穷的性质。

因此越来越多的人开始承认它,并成功地把它应用到许多别的数学领域中去。

大家认为,集合论确实是数学的基础。

而且,由于集合论的建立,数学的“绝对严格性已经取得”。

这时,数学的王国里春光明媚,阳光和煦,一派太平景象。

然而正当人们喜气洋洋、兴高采烈地准备大摆“百牛宴”时,数学王国的大地上突然爆发了空前强烈的地震——在集合论发现了一系列的悖论。

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