康托尔悖论 (6-3)

如男学生集、女学生集、团员学生集、参加英语学习小组学生集等等。

那么给定一个集，能组成多少个子集呢？我们具体看一下，例如：

{1}可有{}、{1}2个子集；

{1，2}可有{}、{1}、{2}、{1，2}4个子集；

{1，2，3}可有{}、{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}8个子集。

依次类推，可以看出，一个含有n个元素的集合有2^n个子集。

需要注意的是，在集合论中，对于集合有多少元素没有限制，所以会出现只有一个元素的或没有元素的子集（空集），原集本身也是自己的子集。

所以当我们问原集能有多少个子集的时候，空集和原集也须计算在内。

一个集合的所有子集也可以组成集合，这个集合叫做原集的幂集。

例如{张三，李四}这一集合的幂集就是

{{}{张三}，{李四}，{张三，李四}}。

两个或两个以上的集合还可以通过运算形成新的集合。

例如英语考试优秀的学生集A={赵丽，王芳，陈凤}，数学考试优秀的学生集B={朱军，王铭，王芳}。

这两个集可以相加组成集C，它既包含了A的元素，又包含了B的元素，这个集就是{赵丽，王芳，陈凤，朱军，王铭}。

这个集称为A和B的并集。

注意的是，王芳在上面的集中不必写两次，只要写一次就说明她是C的元素了。

因此C的基数并不等于A的基数加B的基数，而是二者相加后再减去共同的元素。

文艺委员盂娟在作统计时实际上就是把3个子集进行相加，但要把3个子集的基数相加后再减去共同的元素才能等于初二·三班的总人数。

而孟娟只是简单相加，忘记了应减去相同的元素，难怪要多出8人了。

集合A和B还可以相乘得一新集合D，D是由于A、B中共同的元素组成的集即{王芳}，D称为A和B的交集。

以上是康托尔集合论的一些基本概念。

当时德国数学权威、他的老师克洛耐克的攻击尤为激烈。

他说：“康托尔走进了超穷数的地狱。”

他有一句名言：“上帝创造了正整数，其余的是人的工作。”

就是说，人只能在正整数的有穷范围内研究，至于无穷的世界则完全超乎人的能力之外。

甚至不承认康托尔为他的学生。

在这种情况下，康托尔长期受到压抑和排挤，竟然得不到柏林大学的教授职位，他郁郁不得志，一度精神崩溃，放弃数学的研究，后来终于在一家精神病院去世。

然而康托尔集合论的创立是人类思维发展史上的一座里程碑，它标志着人类经过几千年的努力，终于基本弄清了无穷的性质。

因此越来越多的人开始承认它，并成功地把它应用到许多别的数学领域中去。

大家认为，集合论确实是数学的基础。

而且，由于集合论的建立，数学的“绝对严格性已经取得”。

这时，数学的王国里春光明媚，阳光和煦，一派太平景象。

然而正当人们喜气洋洋、兴高采烈地准备大摆“百牛宴”时，数学王国的大地上突然爆发了空前强烈的地震——在集合论发现了一系列的悖论。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。