康托尔悖论 (6-2)

古时有一人遭诬陷后被关进了漆黑一团的地下室里，他一心想着能早日出去报仇，但在这幽暗的世界里，没有黑夜与白天的分别，当然更没有天数的概念、怎么能知道自己在这里呆了多少天呢？他发现了一个窍门，原来狱卒每隔一天倒一次马桶。

于是每当狱卒倒马桶时，他就用石块在墙上划一道线，这样马桶的集合与线的集合就形成一一对应，而马桶的集合又与日期的集合形成一一对应，因此，从线的多少就可以知道天数的多少。

要对任何两个集合进行比较，只要用一个集合的元素去对应另一个集合的元素就可以了。

如果两个集合有一一对应的关系，那么我们就说两个集合是等价的，如上述线的集合、马桶的集合、日期的集合相互之间都是等价的。

但值得注意的是两集合等价与相等不是一回事。

例如在初一·二班中有张三和李四两位同学，张三的老师的集合A与李四的老师的集合B是相等的，因为两集合的元素是完全相同的；也就是：

A={王五，赵六，周七}

B={王五，赵六，周七}

但假如张三与李四不是同一学校的，张三的老师的集合A与李四的老师的集合C就不是相等而可以是等价的，因为两集合的元素只是一一对应，而不是相同的，也就是：

A={王五，赵六，周七}

C={吴八，郑九，陈十}

判断若干个集合是否等价最简单的办法就是看每个集合内元素的个数是否相等，一集合的元素的个数称为此集合的基数，例如{北京，天津，上海}这一集合有三个元素，故其基数为3，而{《孔乙己》，《风波》，《阿Q正传》，《一件小事》}有四个元素，则基数为4。

有一些集合，它们的元素是有穷的，如{1，4，9，……100}，{里根，布什，克林顿}，这种集合称为有穷集合。

而有些集合则有无穷多个元素，如整数的集合、宇宙中星体的集合等，这种集合称为无穷集合。

无穷集合的基数大于任何有穷集合的基数。

由上节的分析可以看出，无穷集合可以通过一一对应的方法进行比较，但却出现了令人惊讶的结果，如偶数集合与自然数集合的元素一样多，一条线上点的集合与平面上点的集合其元素也是相等的。

康托尔把无穷集合的概念作为集合理论的基础，并证明无穷集合的一个显著特点就是无穷集合自身可与其部分具有一一对应关系。

还有一种集合与无穷集合恰好相反，这种集合不包含任何元素，例如“能被2整除的奇数的集合”、“活到1200岁的人的集合”等，这些集合叫空集。

在我们讨论具有某种性质的对象时，把具有这种共同性质的一切元素组成的集合叫做全集。

例如在某运动会中，参加某一项目竞赛的共有10名运动员，那么这10名运动员组成的集合就是参赛运动员的全集。

在一集合中，我们可以拿出一部分元素来组成新的集合。

在本节开始所述的例子中，“初二·三班的学生”是一集合，而在这些学生中，又可以分出几种不同类型的学生，如参加歌咏比赛的学生、参加书画比赛的学生、参加围棋比赛的学生等。

这几类学生是初二·三班学生组成的几种集合，这些集合都是初二·三班学生集的子集。

显然，子集是包含于原来集合的子集的元素，如张三既是参加书画比赛学生集的元素，同时也是初二·三班学生集的元素。当然，我们还可以按其他条件组成不同的子集。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。