数学联邦政治世界观
超小超大

奇异基数(数学定理) (6-5)

如果第一种情况成立,令 x0,x1,⋯ 是 C的元素、且满足 ϕ0(xα,xα+1) 与∀y∈C(y<xα+1→¬ϕ(xα,y)) ,同时如果α 是极限序数,那么 xα=sup{xβ:β<α}∈C ;令 D0={xα}α<κ ,则 D0 是无界闭集;如果第二种情况成立,那么直接令 C=D0 ,如上递归可得 D0,D1,⋯ ,那么 D=⋂nDn 也是无界闭集,则对于任意 x,x′,y,y′∈D 、如果 x<x′∧y<y′ ,那么L⊨ϕ(x,x′)↔ϕ(y,y′) 。

继续递归上述过程,可得无界闭集Ω⊂κ ,其中 Ω 是 κ 的无差别元集且 |Ω|>ω ,因此定理成立。 ⊣

定理 2 的标准证明方法是: L 中的 κ 子集要么是无界闭集,要么是无界闭集的补集,则 L 可以定义 κ 完备的超滤子,进而得到 L 上的非平凡初等嵌入,根据之前的证明可得存在 0♯ 。

0#基数的进一步讨论

定理 1 :如下四个命题等价:

1. 0♯ 存在

2. 存在 j:L→L 非平凡初等嵌入映射

3. 存在序数 α,β 满足 j:Lα→Lβ 是非平凡初等嵌入映射

4. 存在某个 (Lκ,∈) 有不可数个不可辨元集。

我们之前在文章和文章中证明了2和3等价、2蕴含4。

如果 0♯ 存在,令 I 是 L 的不可辨元类,那么任意 j:I→I 非平凡的保序映射都可以延拓为 L 上的非平凡初等嵌入(注意到φL(hφ(x→),x→)↔φL(j(hφ(x→)),j(x→)),因此 hφ(j(x→))=j(hφ(x→)) ),因此1蕴含2(这意味着存在无穷多个 L 上的非平凡初等嵌入)。

下面我们证明4蕴含1,这样定理 1 获证。

引理 1 :假设 Lλ 含有一个序型是 κ 的不可辨元集、 κ 是不可数基数,那么存在 γ 满足 Lγ 上存在序型是 κ 的不可辨元集 I ,且 I 在 Lγ 在上无界。

令 T 是 Lγ 上的EM蓝图,那么 T 是有秩、无界、神奇的EM蓝图。

证明:令 λ=min{δ:Lδ有基数为κ的不可辨元集} ,令 I 是 Lλ 的基数是 κ 的不可辨元集,定义 M=SHLλ(I) ,由哥德尔凝聚性引理得 M≅Lα 且 α≤λ ,又因为λ 的最小性得 α≥λ ,即 α=λ 。

因为 Lλ 上有一个序型是 κ 的不可辨元集 J 且 Lλ=SHLλ(J) 。

下面证明 J 在 Lλ 中无界:否则有 α<λ满足 α>supJ ,令斯科伦项 τ 与 β1<⋯<βn∈J 满足 α=τ(β→) 。

现在任选 γ1<⋯<γm∈J 与 η1<⋯<ηm∈J ,根据不可辩元的定义有Lλ⊨ψLα(γ→)↔ψLτ(β→)(γ→) 和Lλ⊨ψLτ(β→)(γ→)↔ψLτ(β→)(η→) ,因此 Lλ⊨ψLα(γ→)↔ψLα(η→) ,则 J是 Lα 的一个序型为 κ 不可辨元集,但这与 λ 的最小性矛盾,反证 J 在 Lλ 中无界。

令 T 是 Lλ 上的EM蓝图,下面求证 T 的神奇性。

数学联邦政治世界观提示您:看后求收藏(同人小说网http://tongren.me),接着再看更方便。

相关小说

师尊,我想以下犯上 连载中
师尊,我想以下犯上
一个大坏蛋
[双男主]沈清尘:“何人在此喧哗,门内禁止打架斗殴。”  众人:“拜见沈仙师。”在地上,一个少年蜷缩着身体,双手抱着头,浑身止不住的颤抖。一......
26.0万字4个月前
追妻路慢之二小姐太冷淡 连载中
追妻路慢之二小姐太冷淡
玖梧
【本文双洁,绝宠,1V1】【神妄文社】想要把人拐回自己的窝,并不是件容易的事,这一点,某人身有体会。灵力高强的岳父:“小子,你TM半夜再来翻......
18.9万字4个月前
旧土行记 连载中
旧土行记
子安安
最近准备考试所以更新会很慢!没耐心等不了的慎入哦www这是一个关于宪修三人前往旧土的故事。在学院,他们遇上了各种各样的事情,各种各样的人,与......
4.4万字4个月前
秘密身世 连载中
秘密身世
林梓霜
9.3万字4个月前
汪汪队之阿奇,天天恋爱 连载中
汪汪队之阿奇,天天恋爱
忠诚小六
主要写天天和阿奇的爱情!写的不好,勿喷!
0.4万字4个月前
凤雨再续天命 连载中
凤雨再续天命
上官芊雨
五百年前,十五位天命之人为封印蚩尤而牺牲。七对情侣,骨精灵为了剑侠客而自灭本源,牺牲。剑侠客,巫蛮儿,巨魔王,羽灵神……七人为了三界苍生而注......
3.4万字4个月前