奇异基数（数学定理） (6-5)

如果第一种情况成立，令 x0，x1，⋯ 是 C的元素、且满足 ϕ0(xα，xα+1) 与∀y∈C(y＜xα+1→¬ϕ(xα，y)) ，同时如果α 是极限序数，那么 xα=sup{xβ：β＜α}∈C ；令 D0={xα}α＜κ ，则 D0 是无界闭集；如果第二种情况成立，那么直接令 C=D0 ，如上递归可得 D0，D1，⋯ ，那么 D=⋂nDn 也是无界闭集，则对于任意 x，x′，y，y′∈D 、如果 x＜x′∧y＜y′ ，那么L⊨ϕ(x，x′)↔ϕ(y，y′) 。

继续递归上述过程，可得无界闭集Ω⊂κ ，其中 Ω 是 κ 的无差别元集且 |Ω|＞ω ，因此定理成立。 ⊣

定理 2 的标准证明方法是： L 中的 κ 子集要么是无界闭集，要么是无界闭集的补集，则 L 可以定义 κ 完备的超滤子，进而得到 L 上的非平凡初等嵌入，根据之前的证明可得存在 0♯ 。

0#基数的进一步讨论

定理 1 ：如下四个命题等价：

1. 0♯ 存在

2. 存在 j：L→L 非平凡初等嵌入映射

3. 存在序数 α，β 满足 j：Lα→Lβ 是非平凡初等嵌入映射

4. 存在某个 (Lκ，∈) 有不可数个不可辨元集。

我们之前在文章和文章中证明了2和3等价、2蕴含4。

如果 0♯ 存在，令 I 是 L 的不可辨元类，那么任意 j：I→I 非平凡的保序映射都可以延拓为 L 上的非平凡初等嵌入（注意到φL(hφ(x→)，x→)↔φL(j(hφ(x→))，j(x→))，因此 hφ(j(x→))=j(hφ(x→)) ），因此1蕴含2（这意味着存在无穷多个 L 上的非平凡初等嵌入）。

下面我们证明4蕴含1，这样定理 1 获证。

引理 1 ：假设 Lλ 含有一个序型是 κ 的不可辨元集、 κ 是不可数基数，那么存在 γ 满足 Lγ 上存在序型是 κ 的不可辨元集 I ，且 I 在 Lγ 在上无界。

令 T 是 Lγ 上的EM蓝图，那么 T 是有秩、无界、神奇的EM蓝图。

证明：令 λ=min{δ：Lδ有基数为κ的不可辨元集} ，令 I 是 Lλ 的基数是 κ 的不可辨元集，定义 M=SHLλ(I) ，由哥德尔凝聚性引理得 M≅Lα 且 α≤λ ，又因为λ 的最小性得 α≥λ ，即 α=λ 。

因为 Lλ 上有一个序型是 κ 的不可辨元集 J 且 Lλ=SHLλ(J) 。

下面证明 J 在 Lλ 中无界：否则有 α＜λ满足 α＞supJ ，令斯科伦项 τ 与 β1＜⋯＜βn∈J 满足 α=τ(β→) 。

现在任选 γ1＜⋯＜γm∈J 与 η1＜⋯＜ηm∈J ，根据不可辩元的定义有Lλ⊨ψLα(γ→)↔ψLτ(β→)(γ→) 和Lλ⊨ψLτ(β→)(γ→)↔ψLτ(β→)(η→) ，因此 Lλ⊨ψLα(γ→)↔ψLα(η→) ，则 J是 Lα 的一个序型为 κ 不可辨元集，但这与 λ 的最小性矛盾，反证 J 在 Lλ 中无界。

令 T 是 Lλ 上的EM蓝图，下面求证 T 的神奇性。

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