不难看出,这个 I 就是可构成集宇宙 L的不可辨元集。
而这立马就引出了如下定理:
定理 3 : ℵηV 在 L 中都是不可达基数。
证明: L⊨cf(ℵ1V)=ℵ1V 且L⊨∀α<ℵωV(2α<ℵωV) ,由不可辩元集的定义,所有不可数基数 ℵηV 在 L中都是正则与强极限基数,因此都在 L中不可达。 ⊣
定理 4 : ℵ1L≈ω 。
证明:因为 ℵ1V 在 L 中不可达,因此ℵ1L<ℵ1V ,所以 ℵ1L≈ω 。
事实上 ℵ1L 比最小的 γ∈I 还要小,因为对于任意 β≤ℵ1L , L⊨β≤ℵ1L ,但是 L⊭ℵ1V≤ℵ1L 。 ⊣
定理 5 : (Pω∩L)≈ω 。
证明:由于 L⊨(Pω)L=ℵ1L ,因此定理成立。
由于 |x|+ 是不可达基数,因此定理 5 可以推广到一切无穷集合。 ⊣
现在可以定义 0♯ 基数了:0♯ 基数存在当且仅当存在神奇的EM蓝图。
定理 6 :如果存在神奇的EM蓝图 T ,那么 T 唯一。
证明:由定理 2 可得:注意到 Lκ≺Lλ即可。 ⊣
根据定理 6 ,T 可以这么定义: T={ψ(ci1,⋯,cin):Lℵω⊨ψ(ℵi1,⋯,ℵin)} 。
由于我们可以给全体公式编码,因此此时的 T 实质是一个实数,在这里我们看到了大基数、初等嵌入、 L 与 V 的关系以及实数集 R 之间的关系。
定理 7 :如果存在Ramsey基数 κ ,那么存在神奇的EM蓝图。
证明:由于 κ⊂Lκ ,因此根据定理,Lκ 有序型为 κ 的不可辨元集 I ,令 T是典型结构 (Lκ,∈,ak)k<ω 的真理论。
根据引理,由于 Lκ 是有秩关系且 I 在Lκ 中无界,现在只需证明 T 有神奇性即可。
然后不会了。
0#基数的一个等价形式
定理:假设 κ 是不可数正则基数,如果 0♯ 存在,那么对于任意X∈P(κ)∩L ,要么 X 包含一个无界闭集,要么 κ−X 包含一个无界闭集。
证明:注意到无差别元集 Iκ 是 κ 的无界闭集,因此要么 Iκ⊆X ,要么Iκ⊆κ−X ,定理成立。 ⊣
定理 2 :上述定理的逆定理也成立。
证明:假设 κ 是不可数正则基数,如果对于任意 X∈P(κ)∩L ,要么 X 包含一个无界闭集,要么 κ−X 包含一个无界闭集,现在求 Lκ 有不可数的无差别元集:令 φ0,φ1,⋯ 是只含一个自由变元的纯集合论公式的枚举,令Xi={x∈κ:φiL(x)} ,那么 Xi,κ−Xi 中必有一个含有无界闭集 Ci∈L ,这就得到了一组无界闭集 C0,C1,⋯ ,令 C=⋂nCn,由 κ 是不可数正则基数得 C 也是无界闭集,且 x,y∈C →(φL(x)↔φL(y)) 。
现在令 ϕ0,ϕ1,⋯ 是只含两个自由变元的纯集合论公式的枚举,那么∃y∈C(x∈y∧ϕ0(x,y)) 就是含有一个自由变元的公式,因此对于 C 的元素 x 来说只有两种情况:要么所有 x∈C 都满足 ∃y∈C(x∈y∧ϕ0(x,y)) ,要么都满足 ∀y∈C(x∈y→¬ϕ0(x,y)) 。
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