奇异基数（数学定理） (6-4)

不难看出，这个 I 就是可构成集宇宙 L的不可辨元集。

而这立马就引出了如下定理：

定理 3 ： ℵηV 在 L 中都是不可达基数。

证明： L⊨cf(ℵ1V)=ℵ1V 且L⊨∀α＜ℵωV(2α＜ℵωV) ，由不可辩元集的定义，所有不可数基数 ℵηV 在 L中都是正则与强极限基数，因此都在 L中不可达。 ⊣

定理 4 ： ℵ1L≈ω 。

证明：因为 ℵ1V 在 L 中不可达，因此ℵ1L＜ℵ1V ，所以 ℵ1L≈ω 。

事实上 ℵ1L 比最小的 γ∈I 还要小，因为对于任意 β≤ℵ1L ， L⊨β≤ℵ1L ，但是 L⊭ℵ1V≤ℵ1L 。 ⊣

定理 5 ： (Pω∩L)≈ω 。

证明：由于 L⊨(Pω)L=ℵ1L ，因此定理成立。

由于 |x|+ 是不可达基数，因此定理 5 可以推广到一切无穷集合。 ⊣

现在可以定义 0♯ 基数了：0♯ 基数存在当且仅当存在神奇的EM蓝图。

定理 6 ：如果存在神奇的EM蓝图 T ，那么 T 唯一。

证明：由定理 2 可得：注意到 Lκ≺Lλ即可。 ⊣

根据定理 6 ，T 可以这么定义： T={ψ(ci1，⋯，cin)：Lℵω⊨ψ(ℵi1，⋯，ℵin)} 。

由于我们可以给全体公式编码，因此此时的 T 实质是一个实数，在这里我们看到了大基数、初等嵌入、 L 与 V 的关系以及实数集 R 之间的关系。

定理 7 ：如果存在Ramsey基数 κ ，那么存在神奇的EM蓝图。

证明：由于 κ⊂Lκ ，因此根据定理，Lκ 有序型为 κ 的不可辨元集 I ，令 T是典型结构 (Lκ，∈，ak)k＜ω 的真理论。

根据引理，由于 Lκ 是有秩关系且 I 在Lκ 中无界，现在只需证明 T 有神奇性即可。

然后不会了。

0#基数的一个等价形式

定理：假设 κ 是不可数正则基数，如果 0♯ 存在，那么对于任意X∈P(κ)∩L ，要么 X 包含一个无界闭集，要么 κ−X 包含一个无界闭集。

证明：注意到无差别元集 Iκ 是 κ 的无界闭集，因此要么 Iκ⊆X ，要么Iκ⊆κ−X ，定理成立。 ⊣

定理 2 ：上述定理的逆定理也成立。

证明：假设 κ 是不可数正则基数，如果对于任意 X∈P(κ)∩L ，要么 X 包含一个无界闭集，要么 κ−X 包含一个无界闭集，现在求 Lκ 有不可数的无差别元集：令 φ0，φ1，⋯ 是只含一个自由变元的纯集合论公式的枚举，令Xi={x∈κ：φiL(x)} ，那么 Xi，κ−Xi 中必有一个含有无界闭集 Ci∈L ，这就得到了一组无界闭集 C0，C1，⋯ ，令 C=⋂nCn，由 κ 是不可数正则基数得 C 也是无界闭集，且 x，y∈C →(φL(x)↔φL(y)) 。

现在令 ϕ0，ϕ1，⋯ 是只含两个自由变元的纯集合论公式的枚举，那么∃y∈C(x∈y∧ϕ0(x，y)) 就是含有一个自由变元的公式，因此对于 C 的元素 x 来说只有两种情况：要么所有 x∈C 都满足 ∃y∈C(x∈y∧ϕ0(x，y)) ，要么都满足 ∀y∈C(x∈y→¬ϕ0(x，y)) 。

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