奇异基数（数学定理） (6-6)

根据文章证明，我们知道 T 具有神奇性，当且仅当对于任意斯科伦项τ(c1，⋯，cm，cm+1，⋯，cm+n) ，如果τ(c1，⋯，cm+n)∈Ord 且 τ(c1，⋯，cm+n)＜cm+1 ，那么τ(c1，⋯，cm+n)=τ(c1，⋯，cm，cm+n+1，⋯，cm+2n) 。

现在假设 T 不具有神奇性，那么存在项τ 满足 τ(c1，⋯，cm+n)＜cm+1 且τ(c1，⋯，cm+n)≠τ(c1，⋯，cm，cm+n+1，⋯，cm+2n) 。

我们假设 J 是 Lλ 的所有序型是 κ 的无界的、 SHLλ(J)=Lλ 的不可辨元集中第ω 个元素 aω 最小的那个。

令 a1，⋯，am 是 J 的前 m 个元素，令 uα是第 α 组 J 中 n 个相邻元素组成的单增序列，即 maxuα＜minuα+1 且minu0＞am 。

根据前提可得 τ(a→，uα)＜minuα 且

τ(a→，uα)≠τ(a→，uβ) 。

令 γα=τ(a→，uα) ，那么 α＜β→γα＜γβ ，否则有 γα＞γβ ，根据不可辩元定义可得γ1＞γ2＞⋯ ，但这与基础公理矛盾。

现在定义 K={γδ：δ＜κ} ，现在证明 K 是Lλ 的序型为 κ 的不可辨元集：假设Lλ⊨ψ(γ1，⋯，γn) ，由 γi 的定义和不可辨元集 J 可得 Lλ⊨ψ(γi1，⋯，γin) ，对任意γi1＜⋯＜γin ，因此 K 是 Lλ 的序型为 κ的不可辨元集。

现在令 SHLλ(K)=N ，令 π：N→Lλ 是传递化映射且 π[K]=K′ ，因此 K′ 在 Lλ 中无界。

由于 π(γω)≤γω＜aω ，即 K′ 的第 ω 个元素小于 J 第 ω 个元素，反证 T 具有神奇性。 ⊣

引理 1 事实上证明了：只要存在某个Lλ 含有一个不可数的不可辨元集，那么 T={ψ∈L∈∗：Lλ⊨ψ} 就是神奇的EM蓝图。

现在我们证明Ramsey基数都是 0♯ 基数。

证明：令 κ 是Ramsey基数，由于 Lκ 含有一个基数为 κ 的不可辨元集，根据引理 1 ，存在神奇的EM蓝图。 ⊣

最后证明一个关于 0♯ 的等价定义：

0♯ 存在，当且仅当 ℵωV 在 L 中是正则基数。

这个证明要用到Jesen覆盖引理：如果0♯ 不存在，那么对于任意不可数序数集 X ，存在 Y∈L 满足 X⊂Y∧|X|=|Y|。

Jesen覆盖引理表明在 0♯ 不存在的情况下， L 和 V 十分接近。

定理 2 ：0♯ 的等价定义的证明：如果0♯ 不存在，那么定义X=ω1∪{ℵn：n＜ω} ，根据Jesen覆盖引理，存在 Y∈L∧Y⊃X∧|Y|=|X| ，如果ℵωV 在 L 中是正则基数，由于L⊨supY=ℵωV ，但 |Y|=ω1 ，这显然不可能，反证 ℵωV 在 L 中是奇异基数。

事实上该证明过程可以推广到任意奇异基数 κ 上。 ⊣

定理 3 ： 0♯ 存在当且仅当∃κ(κ→(ω1)2＜ω) 。

根据此文章，定理显然成立。

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