奇异基数（数学定理） (6-3)

令 x1＜⋯＜xm＜y1＜⋯＜yn＜z1＜⋯＜zn ，其中 y1=aγ 且 τ(x→，y→)＜y1 ，由神奇性，存在 u1＜⋯＜ui＜y1 与斯科伦项 ρ 满足 τ(x→，y→)=ρ(u→) ，那么M⊨τ(x→，y→)=ρ(u→) ，由不可辨元集定义， M⊨τ(x→，z→)=ρ(u→) ，因此τ(c1，⋯，cm+n)=τ(c1，⋯，cm，cm+n+1，⋯，cm+2n) ；反过来，假设 β＜aγ∧β∈M（注意 β∈M 这个条件不能少，否则如果 aγ=|η|＞γ ，那么 SHM(X) 的基数不可能是 η ，这与神奇性矛盾），那么令x1＜⋯＜xm

下面我们称 T 是“神奇的EM蓝图”，当且仅当 T 是EM蓝图，且对于任意极限序数 α＞ω ， M(T，α) 都是有秩关系、且M(T，α) 的不可辨元集无界、且具有神奇性。

引理 5 ：如果 T 是神奇的EM蓝图，那么 T 具有“闭性”：对于任意极限序数α＞ω ， I 是 M(T，α) 不可辨元集，那么对任意极限序数 γ＜α ， aγ=supδ＜γaδ。

证明：反证法，假设 aγ＞η＞supδ＜γaδ，根据神奇性，存在 x1，⋯，xn＜aγ 满足η=τ(x1，⋯，xn) ，令 J={aδ：δ＜γ} ，则有η∈SHM(J) ；由无界性得 η＜aδ ，矛盾，反证引理 5 成立。 ⊣

下面我们将证明，如果存在神奇的EM蓝图，那么可构成集宇宙 L 将与 V 有天壤之别。

定理 1 ：如果存在神奇的EM蓝图 T ，对任意不可数基数 κ ， M(T，κ) 的坍缩映射像是 Lκ 。

证明：首先 M(T，κ) 是一个基数为 κ 的模型且 M(T，κ)⊨V=L ，因此存在 α≥κ 满足 Lα≅M(T，κ) ，不妨设 Lα=M(T，κ) 。

如果 α＞κ ，设 aγ 是最小的 ＞κ 的序数，注意 γ＜κ 。令 J={aδ：δ＜γ} ，由神奇性可得 ∀β∈κ(β∈SHLα(J)) ，但是SHLα(J) 的基数 =|γ|＜κ ，矛盾，反证定理 1 成立。 ⊣

定理 2 ：如果存在神奇的EM蓝图 T ，假设 κ＜λ 是不可数基数，那么 Lκ≺Lλ且 Iλ∩κ=Iκ 且 κ∈Iλ ，其中 Iκ 是 Lκ 的序型为 κ 的不可辨元集。

证明：令 J={aδ：δ＜κ}⊂Iλ 和SHLλ(J)=M ，根据 T 的神奇性得∀β＜aκ(β∈M) ，因此假设 π：M→N 是坍缩函数，那么 π[J]=J ；由于 M 由 J生成，因此 π[M]=M ，即 M 传递，根据哥德尔凝聚性引理得 M=Lα，α≥κ ；又根据定理 1 得 M=Lκ ，因此 J⊆Lκ 且Iλ∩κ=Iκ 。

由引理 5 的闭性和 T 的无界性可知κ=⋃J∈I 。

任选 j：Iκ→Iλ 都可扩张为 Lκ→Lλ 的初等嵌入映射，因此定理成立。 ⊣

根据定理 2 有 Iλ∩κ=Iκ ，那么我们可以定义 I⊂Ord 满足 I=⋃κIκ 。

根据之前的分析，类 I 满足如下性质：I 在 Ord 无界；任意不可数基数 κ 都有I∩κ=Iκ 且 κ∈I 。

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