奇异基数（数学定理） (6-2)

现在我们知道对于任意极限序数 α＞ω都有 M(T，α) 存在且唯一，但这也并不意味着 M(T，α) 是一个有秩关系，因此其并不一定是集合论模型。

下面我们要讨论 T 在什么情况下 M(T，α)有秩。

引理 2 ：以下命题等价：

1.∀ω≤α＜ω1(M(T，α)有秩)

2.∀β≥ω1(M(T，β)有秩)

3.∃β≥ω1(M(T，β)有秩)

证明： 注意到如果 M(T，α)=(M，E) 和M(T，β)=(N，E′) 且 α＜β ，令 I，J 是 M，N 不可辨元集，那么任意 f：I→J 的保序映射都可扩张为初等嵌入映射，所以 3→1成立。

假设

∀ω≤α＜ω1(M(T，α)有秩) 且存在 β≥ω1， M(T，β)=(M，E) 不是秩关系，那么有无穷递减序列 ⋯Ec1Ec0 ，令 A={aξi}i＜ω⊂I 是生成这些 {ci}i＜ω 的 M 中的元素，由于 A={aξi}i＜ω 的序型必为一个可数序数 γ ，那么 SH(M，E)(A) 是一个含有序型为 γ 的无差别元集的模型，且该模型不是有秩关系，矛盾，反证1→2 。 ⊣

以后我们直接将 (M，E) 写成 (M，∈) 。

下面继续讨论 M(T，α) 和 T 之间的关系。

注意 α 始终是大于 ω 的极限序数。

现在引入一个更强的条件“无界性”： T具有无界性，当且仅当对于任意极限序数 α＞ω ， M(T，α) 的不可辨元集无界。

引理 3 ：以下条件等价：

1. T 具有无界性；

2. 任意斯科伦项 τ 与 c0＜⋯＜cn ，T⊢τ(c→)∈Ord→τ(c→)＜cn+1

证明：令 M(T，α)=(M，∈) ，注意到如果 I在 M 中无界，即任选 a0，⋯，an∈I 与斯科伦项 τ(a0，⋯，an) ，若M⊨τ(a→)∈Ord ，那么存在 aξ＞τ(a→)，根据不可辨元的定义 τ(c0，⋯，cn)＜cn+1 ，反方向也是如此，引理 3 成立。 ⊣

继续增强 T 的条件！现在假设 T 具有无界性，并引入“神奇性”：假设M(T，α)=M∧α＞ω ，如果 γ＜α 是极限序数， aγ 是 I 的第 γ 个元素，那么{β∈M：β∈aγ}⊂SHM(X) ，其中 X={aδ：δ＜γ} 。

换言之，所有 M 中的小于 aγ 的序数都可以用 M 中小于 aγ 的不可辩元定义。

引理 4 ：假设 T 有无界性，那么 T 具有神奇性，当且仅当对于任意斯科伦项τ(c1，⋯，cm，cm+1，⋯，cm+n) ，如果τ(c1，⋯，cm+n)∈Ord 且 τ(c1，⋯，cm+n)＜cm+1 ，那么τ(c1，⋯，cm+n)=τ(c1，⋯，cm，cm+n+1，⋯，cm+2n) 。

证明：充分性：假设 M(T,α)=M∧α＞γ，且 {β∈M：β∈aγ}⊂SHM(X) ， X={aδ：δ＜γ} 。

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