奇异基数（数学定理） (6-1)

EM蓝图和0#

0♯基数

向集合论语言 L∈ 加入可数个常元{ck：k＜ω} 得到新语言 L∈∗ 。

称 Lκ 是 L∈∗ 的一个典型结构，当且仅当κ＞ω 且 κ 是极限序数、 ck 在 Lκ 的赋值 ak 是一个序数且 ak＜ak+1 、 I={ak：k＜ω}⊆Lκ 是省略结构 (Lκ，∈) 的不可辨元集：对于任意 ψ∈L∈ ，Lκ⊨ψ(a1,⋯,an)↔ψ(a1′,⋯,an′) ，其中a1＜⋯＜an 且 a1′＜⋯＜an′∈I 。

称 L∈∗ 的理论 T 是EM蓝图当且仅当 T是某个典型结构 Lκ 的真理论。

根据定义不难看出，对于任意 c1＜⋯＜cn 与 c1′＜⋯＜cn′ ，ψ(c→)∈T↔ψ(c→′)∈T 。

注意 Lκ 中的不可辨元集 I 的序型很可能不是 ω ，那么对 ck 的不同赋值（或者说不同的序型为 ω 不可辨元集）会不会导致 T 不同呢？答案是不会的，因为 I 是不可辨元集， {ck：k＜ω} 可以按顺序赋值为 I 的任意可数子集 J⊆I 。

定义基本模型 M(T，α)=(M,E) ，该定义是指“ M⊨T 且存在 M 的不可辨元集 I⊂M， I 的序型是 α ，同时 SH(M，E)(I)=M”。

注意到 L 上有可定义的良序 ＜L ，并且＜L 保证α＜β∧rankL(x)=α∧rankL(y)=β→x＜Ly，那么我们在定义公式 φ(x→，y) 的斯科伦项时可以运用这个良序：任选x1，⋯，xn∈L ，如果 L⊨∃yφ(x→，y) ，那么定义 hφ(x→)=y∈L ，其中φL(x→，y)∧∀z∈L，(φL(x→，z)→y＜Lz)。

按照这样的方式定义斯科伦项，可以保证对于任意 M∈L 和任意的X⊆M∧X∈L ， SHM(X) 唯一。

下面我们证明如下引理：

引理 1 ：对于任意EM蓝图 T 和任意极限序数 α＞ω ，都在同构的意义下存在唯一的基本模型 M(T，α) 满足如下性质， I⊂M 是不可辨元集：如果 a0＜⋯＜an∈I ，那么对于任意 ψ∈L∈ 都有ψM(a0，⋯，an)⇔ψ(c0，⋯，cn)∈T 。

证明：我们向 L∈∗ 中加入一组新常元{cξ：ω≤ξ＜α} 得到新语言 L∈∗∗ ，再向 T中加入一组新语句：

{cξ＜cη∧cξ是序数:ξ＜η＜α} 以及{ψ(cη0，⋯，cηn)：ψ∈L∈∧ψ(c0，⋯，cn)∈T} ，其中 η1＜⋯＜ηn＜α 。

令得到的新语句集是 S ，下面证明 S 有限一致：令 S′⊂S 是有限子集，令 ⋀S′中出现的所有常元为 cδ1＜⋯＜cδn ；由于 T 是EM蓝图，不妨假设 T 是(Lκ，∈，ak)k＜ω 的真理论，那么(Lκ，∈，ai)i≤n⊨⋀S′ ，因此 S 有限一致，令 S 的模型为 (M，E，aξ)ξ＜α 。令 I={aξ：ξ＜α} ，定义 SH(M，E)(I)=A ，那么SH(M，E)(I)=A=SHA(I) ， A 即为所求。

现在证明同构：假设 (M，E)，(N，F) 都是M(T，α) 的模型且 M，N 中的不可辨元集I，J 的序型都是 α ，令 π：I→J 是一个保序映射，由于 M，N 中的元素都可由 I，J的斯科伦项定义，因此 π 可以延拓为M→N 的同构映射，因此引理 1 成立。 ⊣

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