Ultimate-L，终极-L (9-7)

定理

假设有一类适当的可扩展基数。

然后以下是等效的。

(1)HOD假设成立。

(2)对于某些δ，有一个内部模型N

δ-逼近性质和δ-覆盖性质使得N =“霍德假说”。

弱扩张模型和普适性

定义

假设N是一个内部模型。

那么N是δ的弱扩张模型是超紧的，如果对于每个γ ＞ δ，存在一个正规的精细δ-完备

在Pδ(γ)上超滤U，如thta:

I N ∩ Pδ(γ) ∈ U，

I U ∩ N ∈ N。

普遍性定理(弱版本)

假设N是δ的弱扩张模型是超紧的，并且

对于某些λ ≥ δ，U是λ上的δ-完全超滤子。

我然后U ∩ N ∈ N。

HOD二分法(完整版)

定理(HOD二分法定理)

假设δ是可扩基数。然后是下面的一个

保持。

(1)没有正则基数κ ≥ δ在HOD中是ω-强可测的。

此外:

I HOD是δ is超紧的弱扩张模型。

(2)每个正则基数κ ≥ δ在HOD中都是ω-强可测的。

此外:

对于任意λ，I HOD不是λ is超紧的弱扩张子。

如果没有弱扩张子，λ的模型N是超紧的吗

⊆·霍德，对于任何λ。

无条件的推论

定理

设δ是可扩基数，κ ≥ δ，κ是α可测基数。

那么κ是一个可测量的基数。

诉诸霍德二分法定理的两种情况:

I情况1: HOD接近v .那么HOD是弱扩张子

δ的模型是超紧的。

我应用普遍性定理。

I情况2: HOD远离v .那么每个常规红衣主教κ ≥ δ是HOD中可测的基数；

因为κ是ω-在HOD中强可测的。

弱扩张模型、近似和覆盖

定理

假设N是δ是超紧的弱扩张模型。

那么N具有δ-逼近性质和δ-覆盖性质。

假设N是δ是超紧的弱扩张模型。

因此:

I N由N ∩ H(δ)唯一指定+).

I N是σ2-可由N ∩ H(δ)定义的+).

弱扩张模型理论是v理论的一部分。

定理

假设有一个可扩基数，N是一个内基数模型。

那么以下是等价的。

| N具有δ-逼近性质和δ-覆盖性质，为了一些δ。

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