定义(莱因哈特)
假设δ是一个基数。
那么δ是可扩基数,如果对于每个λ >δ
存在初等嵌入
π : Vλ+1 → Vπ(λ)+1
使得CRT(π) = δ并且π(δ) > λ。
可扩基数和一个二分法定理
定理(HOD二分法定理(弱版本))
假设δ是可扩基数。
然后是下面的一个保持。
(1)没有正则基数κ ≥ δ在HOD中是ω-强可测的。
进一步,假设γ是奇异基数,γ > δ。
I那么γ是HOD和γ中的奇异基数
+ = (γ+)
可扩基数和一个二分法定理
定理(HOD二分法定理(弱版本))
假设δ是可扩基数。
然后是下面的一个保持。
(1)没有正则基数κ ≥ δ在HOD中是ω-强可测的。
进一步,假设γ是奇异基数,γ > δ。
I那么γ是HOD和γ中的奇异基数
+ = (γ+)
(2)每个正则基数κ ≥ δ都是ω-强可测的
如果有一个可扩展的红衣主教,那么霍德必须是
靠近V或者HOD一定远离V。
这就像詹森二分法定理,但是
用HOD代替l。
超级紧密度
定义
假设κ是不可数正则基数,κ < λ。
1.Pκ(λ) = {σ ⊂ λ σ < κ}。
2.设U ⊆ P (Pκ(λ))是一个超滤子。
如果对于每个α < λ,
{σ ∈ Pκ(λ) α ∈ σ} ∈ U。
对于每个函数,I U是正常的
f : Pκ(λ) → λ
到这样的程度
{σ ∈ Pκ(λ) f (σ) ∈ σ} ∈ U,
存在α < λ,使得
{σ ∈ Pκ(λ) f (σ) = α} ∈ U。
超级致密红雀
定义(索洛维,莱因哈特)
假设κ是不可数的正则基数。
I那么κ是一个超紧基数,如果对于每个λ > κ
在Pκ(λ)上存在一个超滤子U,使得:
I U是κ-完全的、正常的、精细的超滤器
引理(马吉德)
假设δ是强不可达的。
那么下面是相当于
(1) δ是超紧的。
(2)对于所有λ > δ,存在δ < λ < δ和一个初等
把...嵌入
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