Ultimate-L，终极-L (9-2)

定义

假设λ是不可数正则基数。

1.如果c在λ中是共尾的，则集合c的⊂λ是闭无界的

C包含其所有低于λ的极限点:

1.对于所有的极限序数η ＜ λ，如果C∩；η在η中是共尾的，那么η ∈ C。

2.如果集合S ∩ C δ=全闭的∅，则集合S ⊂ λ是平稳的无界集合C ⊂ λ。

示例:

我设⊂ ω2是所有序数α的集合，使得cof(α) = ω。

I S是ω2的平稳子集，

I ω2 S是ω2的平稳子集。

索洛维分裂定理

定理(索洛维)

假设λ是一个不可数的正则基数，并且S⊂ λ是静止的。

然后有一个分区

hSα : α ＜ λi

λ的许多两两不相交的平稳子集。

但是假设S ∈ HOD。

我可以要求

Sα ∈ HOD

对于所有α ＜ λ？

我或者只是找到一个把S分成2个固定集合的划分，每个集合在HOD？

引理

假设λ是不可数的正则基数，并且:

⊂ λ是稳定的。

I κ ＜ λ且(2κ)

HOD ≥ λ。

然后是一个隔断

hSα : α ＜ κi

分解成λ的κ-多个成对不相交的固定子集，使得

hSα : α ＜ κi ∈ HOD。

但是如果:

I S = {α ＜ λ cof(α) = ω}和(2κ)

HOD ＜ λ？

定义

设λ是不可数正则基数，设

S = {α ＜ λ cof(α) = ω}。

那么λ在HOD中是ω-强可测的，如果存在κ ＜ λ

使得:

1. (2κ)

HOD ＜ λ，

2.不存在S的hSα α ＜ κi到平稳集的划分到这样的程度

Sα ∈ HOD

对于所有α ＜ λ。

引理

假设λ在HOD中ω-强可测。

然后

HOD = λ是可测基数。

可扩展红雀

引理

假如

π : Vα+1 → Vπ(α)+1

是初等嵌入，π不是恒等式。

那么存在π(η) δ= η的序数η。

I CRT(π)表示最小η，使得π(η) δ= η。

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