Ultimate-L，终极-L (9-1)

定义

假设λ是不可数基数。

如果存在余尾集X ⊂ λ，则I λ是奇异基数

使得X ＜ λ。　

如果不存在共尾集，则I λ是正则基数

X ⊂ λ使得X ＜ λ。　

引理(选择公理)

每个(无限)继任基数都是正规基数。

定义

假设λ是不可数基数。

那么cof(λ)就是

最小可能x，其中X ⊂ λ在λ中是共尾的。

I cof(λ)总是正则基数。

如果λ是正则的，那么cof(λ) = λ。

如果λ是单数，那么cof(λ) ＜ λ。

詹森二分法定理

定理(詹森)

恰好下列之一成立。

(1)对于所有的奇异基数γ，γ是L和中的奇异基数

γ+ = (γ+)L.

I L接近v。

(2)l中的每个不可数基数都是正则极限基数。

I L远离v。

斯科特定理的强有力版本:

定理(银)

假设有一个可测基数。

那么L远离v。

塔尔斯基定理和哥德尔响应

定理(塔尔斯基)

假设M = ZF，设X是所有α ∈ M的集合，使得α是

可在M中定义，不带参数。

如果没有参数，X在M中是不可定义的。

塔尔斯基定理和哥德尔响应

定理(塔尔斯基)

假设M = ZF，设X是所有α ∈ M的集合，使得α是

可在M中定义，不带参数。

如果没有参数，X在M中是不可定义的。

定理(模型)

假设M = ZF，X是所有α ∈ M集合，使得

对于M的某个序数b，α在M中可由b定义。

I那么X在M中是σ2-可定义的，没有参数。

G odel的传递类HOD

我记得集合M是传递的，如果M的每个元素都是α

m的子集。

定义

HOD是所有集合X的类，使得存在α ∈Ord和

⊂先生Vα这样

1.X ∈ M，M是传递的。

2.M的每个元素在Vα中从序数可定义参数。

我(ZF)选择的公理在霍德那里成立。

我是⊆·霍德。

I HOD是所有传递集M的并集，使得每个

M的元素在V中可由序参数定义。

我被G odel的回答打动了。

固定集合

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