广义G模型的可构造性宇宙L: 终极骗局 (10-1)

一般化L

将L相对于任意谓词P

假设P是一个集合。通过对α的归纳，由下式定义Lα[P]:

1.L0[P] = ∅，

2.(后继情况)lα+1[P]= PDef(lα[P])∨{P∩lα[P]}，　　

3.(极限情况)Lα[P] = Sβ＜α Lβ[P]。

I L[P]是所有集合X的类，使得X ∈Lα[P]对于某些集合序数α。

I如果P ∩ L ∈ L那么L[P] = L。

I L[R] = L对L(R)，除非R ⊂ L，否则l不是l

引理

对于每个集合X，存在一个集合P使得X∈ L[P]。

这相当于选择公理。

正规超滤器和L[U]

定义

假设U是δ上的一致超滤器。

那么U就是正常的超滤if对于所有函数，f : δ → δ，if

I {α ＜ δ f (α) ＜ α} ∈ U，

那么对于一些β ＜ δ，

I {α ＜ δ f (α) = β} ∈ U。

δ上的正规超滤器必然是δ-完备的。

定理(库宁)

设δ1 ≤ δ2，U1是δ1上的正规超滤子，U2是α

δ2上的正规超滤子。

然后:

I L[U2] ⊆ L[U1]如果δ1 = δ2，那么

I L[U1] = L[U2]和U1 ∩ L[U1] = U2 ∩L[U2]。

如果δ1 ＜ δ2，则存在一个初等嵌入j :L[U1] → L[U2]。

L[U]是L的推广

定理(银)

假设U是δ上的正规超滤子。

然后在L[U]中:

I 2

λ = λ+对于无限基数λ。

如果存在实数的射影良序。

定理(库宁)

假设U是δ上的正规超滤子。

那么δ是L[U]中唯一可测的基数。

这将斯科特定理推广到L[U]，因此:

I V 6= L[U]。

弱扩张模型

定理

假设N是一个传递类，N包含序数，并且n是ZFC的典范。

那么对于每个基数δ，下面是相当于

I N是δ is超紧的弱扩张模型。

对于每个γ ＞ δ，存在一个δ-完全正规在Pδ(γ)上超滤U，使得

I N ∩ Pδ(γ) ∈ U，

I U ∩ N ∈ N。

如果δ是超紧基数，那么V是弱扩张子

δ的模型是超紧的。

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