特殊篇章（数学定理） (5-5)

按照定理7.10的思路，我们同样可以证明这个公式集的每个有穷子集都是可满足的。但是，这个公式集本身却不可满足，因为二阶Peano理论的模型里没有「非自然数」。因此，对二阶语言，紧致性定理不成立。既然完全性定理蕴涵紧致性定理，从此又得出，二阶逻辑没有完全性；其中的语形推演不能实现全部语义上有效的推理。我们看到，二阶量化所收获的表达力，被推演力方面的损失「抵消」了。

Lindström证明，在一个比一阶语言表达力强的语言里，紧致性定理和 Löwenheim-Skolem定理不能同时成立。因此，一阶语言唯一具有这样两个性质，它在模型论的意义上被紧致性和 Löwenheim-Skolem性质所刻画。

7.13习题证明：

1)如果 φ 为一阶语句，且

Mod(φ)包含所有无穷结构，那么存在自然数

n＞0，使得Mod (φ)也包含所有基数大于 n 的结构。

2) 设 Φ ₁、Φ ₂为一阶语言Ը的语句集。如果Mod (Φ ₁ ) ∩ Mod (Φ ₂ )＝∅，那么，存在Ը-语句φ，使得

Mod (Φ ₁ ) ⊆Mod (φ)，且

Mod (Φ ₂ ) ⊆Mod (￢φ)。

3)设K为所有Ը-结构组成的类。如果K的子类

K ₁ 与K — K ₁ 都是初等类，则K ₁ 与K — K ₁ 都是可有穷公理化的。

4)一阶语言Ը的语句集Φ称为独立的，如果Φ中任意语句φ都不能由Φ— {φ}推出。

i)对Ը的任何有穷语句集Φ，存在Φ的独立子集Ψ，使得 Mod (Φ)＝Mod(Ψ)。

ii) (如果Ը是可数的) 对每个Ը-结构组成的初等类K，存在独立的Ը-语句集Φ，使得

K＝Mod (Φ)。

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