直觉主义完全性（逻辑论文） (11-1)

直觉主义完全性

经典逻辑的语形后承和语义后承等价。从我们在第五、六章中获得的经验来看，直觉主义逻辑严格弱于经典逻辑，因此，它的语形后承不对应于经典语义后承。那么，对直觉主义推演，我们能不能找到一个合适的语义恰好刻画它呢？本节回答这个问题。我们要描述一种特殊的语义，证明直觉主义逻辑对于这个语义也有可靠性与完全性。

首先说明两点。第一，直觉主义逻辑有没有甚至需不需要语义学，本身就是个问题。严格的直觉主义者不承认他们的逻辑观念有语义刻画（他们甚至不承认直觉主义推演的形式化），所谓「直觉主义语义」，因此只是对于直觉主义观念的一种代数描述，而并不严格表达直觉主义的哲学观点。这与经典逻辑的情形不同：经典语义虽然也是一种代数结构，但它同时提供了对于逻辑常项的经典哲学解释。第二，在经典逻辑的立场上，可以为直觉主义逻辑设计不同的「语义解释」，但这些语义学使用的语言与逻辑，仍然是经典的，所以它们可以看作在直觉主义之外对其推演概念的一种理解。在这些不同的设计中，Kripke 语义较为简明，其直观图景也更能帮助我们理解直觉主义的思想。我们下面介绍Kripke语义。

以下的讨论里，我们使用一个固定的一阶语言。为了突出直观思路而避免细节的繁杂，我们假设不含等词，但含有足够多的个体常项；而且，我们只关心-语句，所有的描述与证明，都是针对语句的。

8.1 直观描述

大体而言，哲学上的直觉主义主张，数学是个体的构造性的心智活动，而逻辑则标示和研究数学构造过程中的特定规则，因此数学先于逻辑。数学对象产生于某种先天的直觉。比如，自然数列源于某种关于时间的原始直觉，这种直觉从一个自然呈现的单位开始，意识到这个单位自身迭加的可能性，从而产生数1、2等等。这是一个潜无穷的构造过程，永无终点。数学命题的意义即是它的证明或构造：我们构造了7，构造了5，把它们「合起来」，发现这正是12的构造结果，这就是「7+5=12」的意义。命题中逻辑常项的意义也必须用构造这个基本概念来解释：当我们说存在具有某性质的数时，这只是意味

着我们已经构造出了具有这个性质的

一个具体数；反之，当我们说不存在这样的数时，这并不意味着我们已经穷尽了「所有」数而终未发现它我们没有能力「统观」整个过程），而只能意味着我们证明了这个存在命题导致矛盾。所以，我们不能在正反两个证明或构造都未得到时就无条件地断定或者有或者没有这样的数（排中律不成立）。

因此，没有一个已经完成的所有数学对象的集合，也没有一蹴而就的总体理论，一切都在构造中增长。我们想象一个理想的直觉主义数学家（「创造主体」），他在时间进程中自由地扩大他的论域，积累他的知识。在每个时刻i，他都拥有业已构造出的一组个体 D(i)，它们也可以说是一组业已确定了有指称的项（对一些直觉主义者来说，数学对象其实就是指称它们的项，即符号串）；此外，他还拥有一组关于D (i) 中的元素的基本知识A(i)，它们都是原子语句，被他直接「直觉」到，或从仅涉及原子语句的规则推出。这个数学家在时间进程中的可能的活动方式，组成一个偏序（甚至一个树），就是说，对于将来的某时刻j，他的D(j)和A (j)不是被D(i)和A(i)所唯一决定的，他可以用不同的方式扩大他的论域和基本知识，甚至在某一点干脆停下来。但是，个体一旦构造，便不会消亡；命题一经证明，便永远成立。所以，D(i) ⊆D (j)，A (i)

⊆A(j)。

那么，这个数学家如何确立复合语句呢？他依据的是直觉主义的可证性原则：确立一个命题就是提供它的一个证明，而联结词和量词的意义，也由此决定：

φ∧ψ的证明由φ的证明加上ψ的证明构成；

φ∨ψ的证明由φ的证明或者ψ的证明构成；

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