数学联邦政治世界观
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特殊篇章(数学定理) (5-4)

Th ( ) 的这种非标准模型,是可数的(因此,根据例7.5的说明,一阶 Peano 公理集 P 也有可数非标准模型)。但是,Th ( ) 也有不可数的非标准模型。这牵涉到一阶语言的下面这个一般的性质。

7.11 升 Löwenheim-Skolem定理 设一阶语言Ը的公式集Φ可被一个有无穷论域的解释(无穷解释)所满足。那么,对任何集合A,存在一个解释满足Φ,其论域中至少有A中那么多元素。

证明:令指标集 I 与集合A等势。对每个i∈I,定义c ᵢ 为新常项(不在Ը中的常项),使得对于i,j∈I,如果i≠j,则C ᵢ ≠C ⱼ 。

设Ը´=Ը∪{cᵢ │i∈I}。令Ը´-公式集

Ψ=Φ∪{¬c ᵢ ≡c ⱼ │i,j∈I且i≠j}。

我们先证明Ψ是可满足的。对Ψ的任意有穷子集Θ,Θ中只有有穷多形如¬c ᵢ ≡ c ⱼ 的公式,设其中出现的新常项只有c ₁,c ₂,···,

c ₙ (它们互不相同,1,2,···,n为它们的重新编号)。

根据假设,有一个无穷Ը-解释σ=〈,ρ〉满足Φ。因为的论域无穷,所以可以找到其中不同的个体a ₁,

a ₂,···,a ₙ 。将展开成Ը´-结构,使得

c 𝕶 ₁=a₁,c 𝕶 ₂=a₂,···,c𝕶 ₙ=a ₙ (不在

c ₁,c ₂,···,C ₙ 中的新常项,可以任意解释)。

现在令Ը´-解释σ´=〈,ρ〉。根据第四章系理 3.8,σ´ 满足Φ;再由的定义,σ´ 满足 Θ 中所有形如¬c ᵢ ≡c ⱼ 的公式。因此,σ´满足Θ。

由紧致性定理,Ψ是可满足的。但任何满足Ψ的解释,由于它满足{¬c ᵢ ≡c ⱼ │i,j∈I且i≠j},所以其论域中至少有 I 中那么多元素(即A中那么多元素)。

将满足Ψ的Ը´-解释限制到Ը上,则这个解释就是满足Φ的、其论域中至少有A中那么多元素的Ը-解释。

这个定理说明,一阶公式集(语句集)只要被无穷解释所满足(有无穷模型),则它就被任意大的解释所满足(有任意大的模型)。因此,一阶语言不能区分无穷结构的大小,不能表达结构的无穷基数。

从这个定理马上得到:

7.12系理Th ( ) 有不可数的非标准模型。

证明:因为Th ( ) 有无穷模型,所以,根据定理7.11,它有任意大的模型,包括不可数模型。当然,不可数模型不能与同构(它们之间没有一一对应)。

根据例 7.5,Th ( ) 的不可数模型,也是P的模型,而且,它们与初等等价。容易看出,这个系理可以推广为:对任意无穷结构,Th ( ) 有任意大的与初等等价的模型。因此,任一无穷结构都不能用一阶语言唯一地刻画。

以上结果,都表明了一阶语言的表达力的局限。我们可以看出,克服这些局限的一种方法,是扩展一阶语言。比如,增加集合变项(二阶语言),或允许无穷长公式,或增加其他量词(如「存在不可数多」),等等。这些语言都有效地增强了表达力,但是,它们也同时丧失了一阶语言的一些好的性质。比如,我们在第四章末尾曾提到,与一阶Peano理论 P恰成对照,二阶Peano理论是范畴的:它在同构的意义上只有唯一的模型,即算术标准模型。另一方面,考虑二阶公式集:

二阶 Peano理论 ∪ {¬x ₀ ≡ 0,¬x₀ ≡0+1,¬x ₀ ≡ (0+1) +1,···} 。

…。

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