特殊篇章（数学定理） (5-4)

Th ( ) 的这种非标准模型，是可数的（因此，根据例7.5的说明，一阶 Peano 公理集 P 也有可数非标准模型）。但是，Th ( ) 也有不可数的非标准模型。这牵涉到一阶语言的下面这个一般的性质。

7.11 升 Löwenheim-Skolem定理 设一阶语言Ը的公式集Φ可被一个有无穷论域的解释（无穷解释）所满足。那么，对任何集合A，存在一个解释满足Φ，其论域中至少有A中那么多元素。

证明：令指标集 I 与集合A等势。对每个i∈I，定义c ᵢ 为新常项（不在Ը中的常项），使得对于i，j∈I，如果i≠j，则C ᵢ ≠C ⱼ 。

设Ը´＝Ը∪{cᵢ │i∈I}。令Ը´-公式集

Ψ＝Φ∪{￢c ᵢ ≡c ⱼ │i，j∈I且i≠j}。

我们先证明Ψ是可满足的。对Ψ的任意有穷子集Θ，Θ中只有有穷多形如￢c ᵢ ≡ c ⱼ 的公式，设其中出现的新常项只有c ₁，c ₂，···，

c ₙ (它们互不相同，1，2，···，n为它们的重新编号)。

根据假设，有一个无穷Ը-解释σ＝〈，ρ〉满足Φ。因为的论域无穷，所以可以找到其中不同的个体a ₁，

a ₂，···，a ₙ 。将展开成Ը´-结构，使得

c 𝕶 ₁＝a₁，c 𝕶 ₂＝a₂，···，c𝕶 ₙ＝a ₙ (不在

c ₁，c ₂，···，C ₙ 中的新常项，可以任意解释)。

现在令Ը´-解释σ´＝〈，ρ〉。根据第四章系理 3.8，σ´ 满足Φ；再由的定义，σ´ 满足 Θ 中所有形如￢c ᵢ ≡c ⱼ 的公式。因此，σ´满足Θ。

由紧致性定理，Ψ是可满足的。但任何满足Ψ的解释，由于它满足{￢c ᵢ ≡c ⱼ │i，j∈I且i≠j}，所以其论域中至少有 I 中那么多元素(即A中那么多元素)。

将满足Ψ的Ը´-解释限制到Ը上，则这个解释就是满足Φ的、其论域中至少有A中那么多元素的Ը-解释。

这个定理说明，一阶公式集（语句集)只要被无穷解释所满足（有无穷模型），则它就被任意大的解释所满足（有任意大的模型)。因此，一阶语言不能区分无穷结构的大小，不能表达结构的无穷基数。

从这个定理马上得到：

7.12系理Th ( ) 有不可数的非标准模型。

证明：因为Th ( ) 有无穷模型，所以，根据定理7.11，它有任意大的模型，包括不可数模型。当然，不可数模型不能与同构（它们之间没有一一对应）。

根据例 7.5，Th ( ) 的不可数模型，也是P的模型，而且，它们与初等等价。容易看出，这个系理可以推广为：对任意无穷结构，Th ( ) 有任意大的与初等等价的模型。因此，任一无穷结构都不能用一阶语言唯一地刻画。

以上结果，都表明了一阶语言的表达力的局限。我们可以看出，克服这些局限的一种方法，是扩展一阶语言。比如，增加集合变项(二阶语言)，或允许无穷长公式，或增加其他量词（如「存在不可数多」)，等等。这些语言都有效地增强了表达力，但是，它们也同时丧失了一阶语言的一些好的性质。比如，我们在第四章末尾曾提到，与一阶Peano理论 P恰成对照，二阶Peano理论是范畴的：它在同构的意义上只有唯一的模型，即算术标准模型。另一方面，考虑二阶公式集：

二阶 Peano理论 ∪ {￢x ₀ ≡ 0，￢x₀ ≡0＋1，￢x ₀ ≡ (0＋1) ＋1，···} 。

…。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。