特殊篇章（数学定理） (5-3)

证明：令Ψ＝Φ∪{φ ≥ₙ│n≥2}，其中φ ≥ₙ表达「至少有n个元素」（见例7.4）。

如果Ψ可满足，则Ψ有模型，而这个既是Φ的模型，又是{φ≥ₙ│n≥2}的模型；由后者，是无穷模型(例7.4)。因此，如果Ψ可满足，则Φ有无穷模型。

我们证明Ψ可满足。根据紧致性定理（7.1），我们只要证明Ψ的任意有穷子集可满足。

设Θ是Ψ的一个有穷子集。Θ中只包含有穷多的φ ≥ₙ，因此，一定有自然数m，使得

Θ⊆Φ∪{φ ≥ₙ│2≤n≤m}。

因为Φ有任意大的有穷模型，所以，Φ有一个模型，其论域里至少有m个元素。显然这个模型是Θ的模型。

7.8定理 设Ը是一阶语言。所有有穷的Ը-结构组成的类不是初等类。

证明：令K＝{│是Ը-结构，且的论域有穷}。假设存在Ը-语句集Φ，使得K＝Mod(Φ)。那么，Φ只有有穷模型。但是，Φ既然有任意大的有穷模型，根据引理7.7，Φ也有无穷模型。矛盾。因此，不存在Ը-语句集Φ，使得K＝mod(Φ)，即K不是初等类。

所以，有穷结构类不可在一阶语言里公理化；换言之，一阶语言不能刻画「有穷」这个普通的数学概念。这个事实在一个侧面表明了一阶语言表达力的局限。由此我们又得到：

7.9系理 设Ը是一阶语言。所有无穷的Ը-结构组成的类不可有穷公理化。

证明：假设K是无穷的Ը-结构组成的类，而且K可以有穷公理化。那么，存在有穷的Ը-语句集Φ，使得K＝Mod(Φ)。

设Φ＝{φ ₁，···，φ ₙ}。由习题 7.6-1，Mod (Φ)＝Mod (φ ₁∧···∧φₙ)。因此，K＝Mod (φ ₁ ∧···∧φ ₙ)。

现在，任给Ը-结构，

是有穷的，

当且仅当，∉K，

当且仅当，(φ ₁ ∧···∧ φ ₙ)＝F，

当且仅当，(￢ (φ ₁∧···∧φ ₙ ) )＝T。

因此，Mod(￢(φ ₁∧···∧φ ₙ) )＝有穷的Ը-结构的类。

这与定理7.8矛盾。

所以，无穷结构类虽然可在一阶语言里公理化(例7.4)，但不可有穷公理化。

7.10 Skolem 定理 的理论Th ( ) 有可数的非标准模型。

证明：令一阶算术语言的公式集

Φ＝Th(𝔑)∪│￢x₀≡0，￢ x₀≡0＋1，

￢x₀ ≡ (0＋1)＋1，···│

首先证明Φ是可满足的。

设Ψ为Φ的一个有穷子集。记项0为0，0＋1为1，(0＋1)＋1为2，···。令n为最大的自然数，使得￢x₀≡n包含在Ψ中。定义-解释

σ＝〈，ρ〉，其中ρ (x₀)＝n＋1。

容易看出，σ(Ψ)＝T。

因此，根据紧致性定理，Φ是可满足的。

显然， Φ是可数集。由Löwenheim-Skolem定理(7.2) Φ被一个可数解释σ´＝〈，ρ´ 〉所满足。因此，σ´满足Th ( )，其中的可数结构是语句集 Th ( )的模型。

注意，对任意自然数

n，σ´(￢x₀≡n)＝T。所以，ρ´(x ₀)不是任何自然数。就是说，的论域里有「非自然数」，它不是0、1、2、···。这说明，与不同构，因为我们无法把中的非自然数与中的任何自然数对应起来，而仍然能够保持加法和乘法的运算关系。

另一方面，既然是Th ( ) 的模型，那么它与就是初等等价的(例7.5)。

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