特殊篇章（数学定理） (5-2)

Mod(φ ≥ₙ)＝{│的论域中至少有n个元素}。

所以，论域中至少有n个元素的结构的类是初等类，它被 φ ≥₂ 所 (有穷) 公理化。

对于无穷大语句集Φ＝(φ ≥ₙ│n≥2}，则有

Mod(Φ)＝{│是无穷结构}。就是说，所有无穷结构组成的类是初等类，它被Φ所公理化。

另外，由第四章第7节知，等价关系结构、偏序结构、全序结构、无端点稠密全序结构等组成的类，都是初等类，而且都可有穷公理化。

7.5例 令P为一阶 Peano公理集，为算术标准结构 (见第四章第7.4节）。则我们由前面的内容知道，∈Mod(P)。

考虑在一阶算术语言中的理论Th( )，它是所有在中为真的-语句的集合 ( 但它不是一个形式理论，见第四章第7.4节的说明) 。它的模型类

Mod (Th ( ( ) 是什么样的呢？

任给结构，EMod (Th ( ( ) 当且仅当(Th( ( )＝T。因此，对任意语句φ，

(φ)＝T ⇒φ ∈ Th ( ) ⇒ (φ)＝T。

(φ)＝T ⇒φ ∉ Th ( ) ⇒ ￢φ∈Th ( ) ⇒ (￢φ)＝T ⇒ (φ)＝F。

这说明，Mod (Th( ) )中的结构，都与满足同样的一阶语句。满足同样的一阶语句的两个结构，称为初等等价 (或一阶等价) 的结构。因此，Mod (Th ( ) )中的结构，都与初等等价。

另外，因为是P的模型，所以P ⊆Th ()。由此可知：

Mod (Th( ) ) ⊆ Mod(P) (见下面习题7.6-2)。结构类Mod(P)可以叫作Peano类，它的理论 Th（Mod (P) )={φ│P￾φ}。根据经典逻辑的完全性，Th（Mod (P) )＝{φ│P ￾ ᴄ φ}，它是P所推出的语句的集合，称为一阶算术理论。

我们曾经希望是Mod (P) 的唯一元素，即 P (在同构的意义上）唯一地刻画标准模型，但下面的Skolem定理将表明，Mod (Th( ) )中已经有与「本质上」不同（即不同构）的结构，虽然它们与初等等价。文献上称它们为Th ( ) 的──因此是P的──非标准模型。

7.6 习题

1)对于公式φ₁，···，φₙ，证明：Mod (φ ₁，

···，φ ₙ)＝Mod(φ ₁，∧···∧φₙ)。

2)对于语句集Φ ₁、Φ ₂，

用Φ ₁，￾Φ ₂ 表达：对于任何φ∈Φ ₂，Φ ₁ ￾φ。证明：

Φ ₁，￾Φ ₂，当且仅当 Mod(Φ ₁)⊆Mod(Φ ₂)。

3)设K为一个Ը-结构类。证明：

i)K⊆Mod(Th (K))。

ii)K是可公理化的，当且仅当

K＝Mod(Th (K) )。

4)证明：如果K是初等类，则K中的所有无穷结构也组成一个初等类。

5)一个Ը-语句集Φ称为完全的，如果对任何Ը-语句φ，要么Φ￾ ᴄ φ 要么Φ ￾ ᴄ ￢φ。证明：

i)Th ( )是完全的。(但P不是完全的，见第四章第7.4节的说明。）

ii)Φ是完全的，当且仅当Mod（Φ）中的结构是初等等价的。

iii)Φ是完全的，当且仅当{φ│Φ￾ ᴄ φ}是极大一致的。

我们下面表明，有些普通的结构类，不能被一阶语言的语句集所公理化。

7.7引理 设Φ是Ը-语句集。如果Φ有任意大的有穷模型（即对任意自然数n，Φ有一个模型，其论域有穷，且至少含n个元素），则Φ也有无穷模型。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。