特殊篇章（数学定理） (5-1)

紧致性定理与 Löwenheim-Skolem定理

我们从完全性定理的证明得到下面两个关于一阶语言语义性质的重要推论。

7.1 紧致性定理一阶公式集Φ

中是可满足的，当且仅当，Φ的任何有穷子集都是可满足的。

证明：Φ是可满足的，

当且仅当，Φ是一致的（定理

6.4)，

当且仅当，Φ的任何有穷子集都是一致的（引理2.8），

当且仅当，Φ的任何有穷子集都是可满足的（定理6.4）。

7.2 Löwenheim-Skolem定理设一阶公式集Φ是可数的。如果Φ是可满足的，那么它被一个可数的解释所满足。

证明：假设Φ是某个语言的公式集（可以是不可数语言)。既然Φ是可数的，而每个公式都是有穷长的-串，那么，Φ中所出现的的非逻辑符号一定是可数多的。设这些符号包含在一个可数语言里，则Φ也是公式集。我们知道，Φ作为-公式集是可满足的（一致的），当且仅当Φ作为-公式集是可满足的（一致的）。因此，我们不妨假定Φ是一个可数语言Ը的公式集。

设Φ是可满足的，那么Φ是一致的。给Ը增加新常项c ₀，c ₁，···，按定义5.4得到Ըᶜ和它的语句集Φ ᶜ。Ըᶜ仍然是可数语言。根据系理5.2的证明，存在Ըᶜ-解释σ，它满足Φ ᶜ，而且，它是Ըᶜ的项解释，其论域为{ [t] │t是Ըᶜ-项} 的基数 ≤ {t│t是Ըᶜ-项]的基数，而Ըᶜ-项只有可数多，因此，

σ的论域{ [t] │t是Ըᶜ-项]是可数的，即σ是一个可数解释。

按照可满足性定理（5.6）证明中的做法，将σ限制成一个Ը-解释σ´，其论域维持不变。由这个定理的证明，Ը-解释 σ´满足Ը-公式集Φ。

因此，Φ被一个可数的解释所满足。

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这两个定理是一阶模型论的基础，其应用极其广泛。下面我们讨论一下它们所揭示的一阶语言在表达力方面的局限。

7.3定义 设Φ是一个Ը-语句集，K为一个Ը-结构类。

1）称Ը-结构类{│（Φ）＝T}为Φ的模型类，记为Mod（Φ）。

2)称Th (K) = {φ│φ 是Ը-语句，且对任何∈K，(φ)＝T}为K的理论。

3)如果存在Ը-语句集Ψ，使得K＝Mod(4)，则称K是可公理化的。若此时Ψ是有穷集，则称K为可有穷公理化的。

我们把 Mod ( {φ ₁，···，φₙ } ) 简记为Mod (φ₁，···，φₙ)。

Mod(φ)总括了语句φ的所有模型，可以看作φ的模型论「意义」，而Mod(Φ)则是语句集Φ的模型论「意义」。如果对某个语句集Ψ，K=Mod(Ψ)，那么K就被Ψ所「表达」和刻画，或者说，K被Ψ所公理化。能够被一阶语句集所公理化的K，又称初等类。

一般而言，所谓一种语言的表达力问题，就是问：哪些结构类能够被这种语言的语句集所公理化？或者，这种语言能够表达或刻画些什么？而一阶语言的表达力问题相当于：哪些结构类是初等类？一阶语言能辨别和区分结构的什么性质？

7.4.例 考虑一阶语句φ ≥₂ (φ ≥ₙ 的定义，见第四章第7.3节）。任给结构，

(φ ≥₂)＝T，当且仅当，的论域中至少有2个元素.

因此，

Mod(φ ≥₂)＝{│的论域中至少有2个元素}。

如果令K＝论域中至少有2个元素的结构的类，则K＝Mod (φ ≥₂)，即 K 被 φ ≥₂ 所(有穷)公理化。

把这推广一下。φ ≥₂ 表达「论域中至少有n个元素」，即

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