Henkin定理 (4-1)

现在我们前进到一阶语言里，考虑整个经典逻辑的完全性。

首先简化一下语言。由第四、五章的相关内容我们知道，在经典逻辑中，可以把∀xφ 看作

￢∃x￢φ的缩写，从而在语言的初始符号中去除∀。这样改变的语言，与原来的语言有相同的表达力，相同的（经典）语义与语形后承关系。因此，在新语言里证明的经典完全性，对原来的语言同样成立。为了简化证明步骤，我们假定本节的Ը不含∀，其中的量词只有∃一个。

然后我们梳理证明的总体思路。

同命题逻辑的情形一样，完全性证明的关键步骤是得到可满足性引理；同前面的区别是，这里的可满足性引理是针对一阶公式集的，因此还要处理谓词、等词和量词带来的问题。按照前面描述的 Henkin方法，我们既然已经有了把一致集扩充为极大一致集的办法，那么目前的任务就是对于给定的极大一致集，找到一个满足其中的素公式的解释。就是说，给定极大一致Ը-公式集Φ，我们要定义一个Ը-解释σ＝〈，ρ〉，使得：

第一，对于Ը的原子公式φ，

σ (φ)＝T当且仅当φ∈Φ。

第二，对于Ը的量化式∃xφ，

σ (∃xφ)＝T当且仅当∃xφ∈Φ。按照满足概念的定义，这相当于要求：

1)对于Ը-原子公式Pt ₁，···，t ₙ，Pt ₁ ··· t ₙ ∈Φ当且仅当σ (t ₁)，···，σ (t ₙ) )。

2)对于Ը-等式t≡s，t≡s∈Φ中当且仅当σ (t)＝σ (s)。

3)对于Ը-量化式 ∃xφ，∃xφ∈Φ，当且仅当，存在a∈A，使得σ (a/x) (φ)＝T。

我们逐条分析这些要求。

1) 是针对σ的论域和其中的基本关系的，它要求，一旦 Φ「规定」了Pt ₁，···t ₙ，那么这些项对应的个体在论域中就恰好具有P表达的关系。我们如何找到一个这样一个论域呢？显然不能凭空造出一个论域。可我们有什么东西可资利用呢？我们现在仅有的资源是语言Ը及其中的项与公式，它们是一些语形对象（符号串），我们曾经说过，语形对象需要跟语义对象区别开来，一边是语言符号，一边是世界里的个体、关系和命题，前者表达后者，但不能混同于后者。

但是，Ը的符号串毕竟也是对象，因此我们能够使用某个语言Ը´谈论它们。在这个意义上，被谈论的Ը-串构成语言Ը´的论域。特别是，没有什么阻碍我们，让Ը´直接等于Ը，即让Ը述说自身。这不意味着我们混同了Ը的语形和语义，我们只是让符号串身兼二任。比如，我们可以令个体常项a指称a本身。作为语形对象，a是一个名字，而作为语义对象，a是某个名字的指称。同一个符号，扮演的角色不同，两个角色，没有在这里混淆。实际上，这只是定义了结构中的解释函数ŋ，使得ŋ(a)＝a。

回到1）的问题。既然1）要求项的语形「表现」跟语义「表现」相同，那么，一个自然的想法是：我们把项的语形「表现」直接「搬」到语义中去。具体而言，我们让语言Ը中的项直接充当个体而组成Ը的一个论域，然后定义解释σ，使得每个Ը-项t对应于论域中的个体t，即

(*) σ (t) ＝t。

进一步，对Ը的每个n元谓词P，我们如下定义它在这个论域中的解释：

(σ(t ₁)，···，σ (t ₙ ) )，当且仅当，Pt ₁，···t ₙ，∈Φ。

这满足了1）的要求，其中的关键思想是：让语言中的项「指称」它们本身。

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