实数Z（数学论文） (6-4)

在这种情况下，集合Aξ是定义良好的，这是由于集合B ⊂(γ⁺)ᴹˣ被下面的自变量“重塑”。由于B被“重塑”，因此在上述的情况2中，即存在定义3.28(ii)中的模型N。我们有N ◅ Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ).一般来说，不一定是这样Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)Lp²ⁿ⁻¹(B)等于Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)(见引理3.25)，但由于ξ是N中最大的基数，因此实际上N ◅ Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)Lp²ⁿ⁻¹(B).因此，在ξ处见证B“重塑”的任何N都是Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)Lp²ⁿ⁻¹(B)使得集合Aξ确实是定义明确的。

序列(Aξ│ξ＜(γ⁺)ᴹˣ)现在可在V₂＝Lp²ⁿ⁻¹(B)中定义.

现在设P₂是由几乎不相交集(Aξ│ξ＜(γ⁺)ᴹˣ)的ω₁的子集对编码B的强迫，这意味着p ∈ P₂是一个对(pι，pᵣ)，使得对于某些α＜ω₁，pι：α → 2，并且pᵣ是(γ⁺)ᴹˣ的可数子集.

我们说 p＝(pι，Pᵣ)使得pι：α→ 2对于某些α＜ω₁和pᵣ 是（γ⁺)ᴹˣ. 我们说p＝（pι，pᵣ)≤P₂（qι，qᵣ)＝q iff qι ⊆ pι，qᵣ ⊆ pᵣ，并且对于所有ξ∈qᵣ，我们有，如果ξ∈B，那么

{β ∈ dom(pι)\dom(qι)│pι(β)＝1}∩Aξ＝∅.

一个简单的论点表明(γ⁺)ᴹˣ-c.c.对于强迫P₂成立. 更重要的是，它是ω-闭的，因此没有基数塌陷。设G₂ 是P₂-V和let上的泛型

C'＝∪{β ∈ dom(pι)│pι(β)＝1}.

p∈G₂

那么C'⊂ω₁ 对于所有ξ＜(γ⁺)ᴹˣ，

ξ∈B iff|C'∩Aξ| ≤ ℵ₀.

最后，设V₃＝V₂[G₂]. 通过与我们在第2步结束时给出的论点相同的论点，我们可以得出

V₃＝Lp²ⁿ⁻¹(C)

对于某些集合C ⊂ ω₁编码C′和实数x，由于模型Lp²ⁿ⁻¹(C)可以通过以下参数成功地完全解码集合B ⊂(γ⁺)ᴹˣ 我们归纳地证明了对于每一ξ＜(γ⁺)ᴹˣ，(Aς│ς＜ξ)∈ LP²ⁿ⁻¹(C)和B∩ξ ∈ LP²ⁿ⁻¹(C).得到B ∈ Lp²ⁿ⁻¹(C).

对于归纳步骤，设ξ＜(γ⁺)ᴹˣ 为序数，并假设归纳得到

(Aς│ς＜ξ)∈ Lp²ⁿ⁻¹(C).

因为对于所有ς＜ξ，

ς∈B iff|C'∩Aξ| ≤ ℵ₀，

我们有B∩ξ ∈ Lp²ⁿ⁻¹(C).

在情况1中，即，如果L [B∩ξ] ⊨ |ξ| ≤ ω₁ⱽ²，则可以容易地在LP²ⁿ⁻¹(C)内识别集合Aξ。在情况2中，设N是Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)Lp²ⁿ⁻¹(C)的最小初始段，使得ρω(N) ≤ ξ，N是ξ上的声音，ξ是N中最大的基数，并且在N上可定义存在满射，g：ω₁↠ξ. 这样一个N的存在是由于B被“重塑”的事实：甚至存在一些N ◅ Lp²ⁿ⁻¹(A∩ξ)，使得ρω(N) ≤ ξ，

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