（特殊篇章）哥德尔可构造宇宙L第二版本 (3-1)

8.2 哥德尔的 L

以下我们专注于哥德尔可构成集的构造。

8.2.1.定义 对任意α，我们递归定义序列 Lα 如下：

(1) L₀＝∅；

(2） Lα₊₁＝Def(Lα)；

(3) 对任意极限序数α，Lα＝∪ᵦ＜α Lᵦ。

同时我们还定义

L＝∪ Lα， (8.6)

α∈On

L的元素称为可构成集。

L 与 V 的构造不同、我们在后继步骤中不是加入所有的子集，而是加入在已有层谱中可定义的子集。虽然如此，许多关于 Vα 的性质，如果它的证明中只用到了 Vα 的某些可定义子集也在 Vα₊₁中，则这些性质对 Lα 也是成立的。

8.2.2.引理 对任意序数α，

(1) Lα是传递的；

(2）如果α＜β，则 Lα ⊆ Lᵦ。

(3） Lα ⊆ Vα。

证明.如果α＝0，则（1），（2）显然成立。假设命题对 β 成立，并且α＝β＋1，则Lα＝Def(Lᵦ)。由引理 8.1.10，Lᵦ ⊆ Lα ⊆ P(Lᵦ)，所以

(1)，(2)都成立。(3)显然。 □

8.2.3.定义 如果x∈L，x 在 L 中的秩 rank˪(x) 定义为

rank˪(x)＝min{β│x ∈ Lᵦ₊₁}。 (8.7)

8.2.4.引理 对任意α，

Lα＝{x∈L│rank˪(x)＜α}。 (8.8)

证明. 显然。 □

与 Vα 类似的是，如果x∈L 且 rank˪＝β，则 x ⊆ Lᵦ，x ∉ Lᵦ，但 x ∈ Lᵦ₊₁。而与Vα不同的是，经常会有以下情况出现，Lᵦ的一些子集虽然属于 L 但不属于Lᵦ₊₁。以下引理是说，这种情况不会发生在序数身上，序数在L和 V 中的位置是一样的。

8.2.5. 引理 对任意序数 α,

(1)Lα ∩ On＝α；

(2) α ∈ L ∧ rank˪(α)＝α。

证明.

(1)施归纳于α。如果α＝0或 α 是极限序数，则是显然的。如果α＝β＋1并且Lᵦ ∩ On＝β。因为 Lα ⊆ P(Lᵦ) ⊆ P(Vᵦ)，所以Lα ∩ On ⊆ Vα ∩ On＝α，另一方面，β＝Lᵦ ∩ On ⊆ Lα ∩ On，所以我们只需证明 β ∈ Lα，而这又只需证明β ∈ Def(Lᵦ)。

我们知道“β是序数”对任意传递集是绝对的，所以

β＝Lᵦ∩On＝{η ∈ Lᵦ│η是序数}＝{η ∈ Lᵦ│(η 是序数)ᴸβ} ∈ Def(Lᵦ)。

(2) 由 (1)，任意α ∈ Lα₊₁。 □

8.2.6.引理 对任意序数 α，

(1) Lα ∈ Lα₊₁；

(2) Lα 的任意有穷子集属于Lα₊₁；

证明.对于(1)，Lα＝{x ∈ Lα│(x＝x)ᴸα}。

(2)是引理8.1.10的推论。 □

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