实数Z（数学论文） (6-1)

证明。

我们将使用几乎不相交的编码，通过五步强制来产生实z。

对于这种强迫的介绍，参见例如[3]的调查或[38]，其中给出了类似的论点。

我们在地面模型上进行强制

Lp²ⁿ⁻¹(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ).

Lp²ⁿ⁻¹(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)是Mₓ的一个可定义集，因为根据表述2中的性质(4)我们得到

M#₂ₙ₋₁(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)∈Mₓ

根据引理3.23，对M#₂ₙ₋₁(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)及其图像的最小测度进行ωⱽ₁次迭代，并在ωⱽ₁处截断，得到下半模型Lp²ⁿ⁻¹(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)

这意味着，特别是cf（γ）ᴸᴾ²ⁿ⁻¹⁽ˣ，ᴷᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ⁾≥ ω₁ᴹˣ.

唱。

步骤1：为地面模型写入V₀＝Lp²ⁿ⁻¹（x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ）我们从一个预备强迫开始，它将ω₁ᴹˣ以下的一切坍缩为ω，之后我们将γ坍缩为ω₁ᴹˣ。

所以设G₀ ∈ V为Col(ω，＜ω₁ᴹˣ)-一般除以

V₀，设V'₀＝V₀[G₀].

此外，设G'₀ ∈ V为Col(ω₁ᴹˣ，γ)-泛型V'₀，设V₁＝V'₀[G'₀].

所以我们有ω₁ᴹˣ＝ω₁ⱽ¹通过我们选择的γ，也就是cf(γ)ⱽ⁰ ≥ ω₁ᴹˣ，我们还有(γ⁺)ᴹˣ＝(γ⁺)ᴷᴹˣ

＝ω₂ⱽ¹.

我们写ω₁＝ω₁ⱽ¹ω₂＝ω₂ⱽ¹

进一步，设A'是编码G₀和G'₀，的序数集合，这样，如果我们令A⊂(γ⁺)ᴹˣ

x ⨁（Kᴹˣ│|(γ⁺)ᴹˣ)⨁A'，

然后我们有G₀，G'₀ ∈ Lp²ⁿ⁻¹(A)和Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ ∈ Lp²ⁿ⁻¹(A).

事实上，我们可以选择集合A使V₁＝Lp²ⁿ⁻¹(A)通过下面的论证：回想一下

Lp²ⁿ⁻¹(A)＝M(A)│ω₁ⱽ，

其中，M(A)表示Iω₁ⱽ，式中M#₂ₙ₋₁(A)对集合A的最小测度及其像的迭代。

然后我们可以认为G₀在模型M(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)上是泛型的，而G'₀在模型M(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)[G₀]，上是泛型的，其中M(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)表示ω₁ⱽ M#₂ₙ₋₁(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ 的最小测度及其像的迭代。

由于步骤1中的两种强迫都发生在（γ⁺）ᴹˣ＜ω₁ⱽ以下，

因此证明中有定理2.25M(x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ)[G₀][G'₀]＝M(A)对于集合A ⊂ (γ⁺)ᴹˣ

编码x，Kᴹˣ│(γ⁺)ᴹˣ，G₀和G'₀，因此我们得到V₁＝M(A)│ω₁ⱽ对于这个集合A，如所期望的那样。

步骤2：在我们可以使用ω₁＝ω₁ⱽ¹，的几乎不相交的子集执行第一次编码之前，我们必须“重塑”(γ⁺)ᴹˣ＝ω₂ⱽ¹和ω₁之间的间隔，以确保我们将在步骤3中执行的编码存在。

此外，我们必须确保重塑强迫“本身不会使ω₁和(γ⁺)ᴹˣ崩溃。

我们将通过证明重塑强迫是＜(γ⁺)ᴹˣ-分布来证明这一点。

我们将使用以下重塑的概念。

定义3.28。

设n为基数，设X⊂η⁺，我们设函数f为(X，η⁺) -对某些f：α → 2以及对所有α ≤ η⁺且ξ ≤ α的函数ξ＜η⁺进行重塑，我们有

(i)L[x∩ξ，f ⨡ ξ] ⊨ |ξ| ≤ η ，or

(ii)有一个模型N和一个Σₖ-elementary嵌入

j：N→Lp²ⁿ⁻¹ (X)│η⁺⁺ 对于足够大的k＜ω，使得

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