（特殊篇章）哥德尔可构造宇宙L第二版本 (3-2)

L 与 V 的另一个重要不同是，我们不能断言实数属于 L，也不能断言 L 是对幂运算封闭的。然而，对于自然数和 ω，我们有

8.2.7.引理

(1) 对任意自然数n， Lₙ＝Vₙ；

(2) Lω＝Vω。

证明.(1) 可由归纳证明； (2) 是 (1) 以及引理8.2.6的推论。 □

对大于 ω 的序数α，单从其基数上看，Vα 与Lα 就有很大差别。

8.2.8.引理 如果选择公理成立，则对任意

α ≥ ω ，|Lα|＝|α|。

证明. 使用超穷归纳，我们证明|Lα|＝|α|。假设α ≥ ω并且对任意β＜α，β ≥ ω → |Lᵦ|＝|β|。这首先蕴涵着如果 β＜α，|Lᵦ| ≤ |α|。(β＜ω的情况见上引理8.2.7。)如果 α 是极限序数，则Lα＝∪ᵦ＜α Lᵦ，是 |α| 个基数小于 |α| 的集合的并，所以根据选择公理，|Lα| ≤ |α|；另一方面，因为α ⊆ Lα，所以 |Lα| ≥ |α|。如果

α＝β＋1 是后继序数，则由引理8.1.10，

|Lα|＝ |Def(Lᵦ)|＝|α|。 □

以上引理8.2.8表明，如果 α＞ω，则 |Lα|＝|Vα| 当且仅当α＝⊐α。。P(ω) ⊂ Vω₊₁，而我们又没有理由相信自然数的任意子集都是可定义的，所以P(ω)很可能不是 L 的子集。如果P(ω) ⊈ L，则对任意α＞ω，Lα ≠ Vα。

8.2.9.定理 L 是 ZF 的模型。

证明. 存在公理、外延公理、无穷公理、基础公理 (L ⊆ V) 都是平凡的。

(1) 对于对集公理，如果 α，b ∈ L，则存在 α，α，b ∈ Lα。这样，{α，b} 可以通过 Lα定义，因此属于Lα₊₁。又由于 c ＝{α，b} 是 Δ₀ (Π₀)公式，所以对集公理对 L 的相对化成立。

(2) 分离公理。根据前面的分析，我们需要证明：对任意公式 ψ(x，x₁，· · ·，xₙ)， 假设 X，x₁，· · ·，xₙ ∈ L，则集合Y＝{x ∈ X│ψᴸ(x，x₁，· · ·，xₙ)} ∈ L。取 α 使得 X，x₁，· · ·，xₙ ∈ Lα，则根据可构成集层谱的定义，Y'＝{x ∈ Lα│x ∈ X ∧ ψᴸα (x，x₁，· · ·，xₙ)} 属于 Lα₊₁， 因此也属于 L。但问题是我们不能确定 Y＝Y'。这要求助于反映定理7.9.2，令 β＞α 并且 ψ 对 Lᵦ 和 L 是绝对的，则

Y＝{x ∈ Lᵦ│x ∈ X ∧ ψᴸβ(x，x₁，· · ·，xₙ)}∈ Lᵦ₊₁。

(3) 并集公理。并集公理的相对化可表示为∀X ∈ L∃Y ∈ L(Y＝∪X)ᴸ。由于Y＝∪X 是Δ₀ 公式，因而是绝对的，所以我们只需证明：对任意 X ∈ L，∪X ∈ L。如果 X ∈ Lα，则由于 Lα 是传递的，所以∪X ⊆ Lα，令 Y＝{x ∈ Lα│∃z ∈ X(x ∈ z)} (注意到定义公式是 Δ₀ 公式)，则∪X＝Y ∈ Lα₊₁。

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