Henkin定理 (4-3)

2) 根据前提，t ₁ ≡s ₁，∈Φ，···，t ₙ≡s ₙ ∈Φ。因此，Φ￾ ᴄ t ₁≡s ₁ ∧···∧t ₙ≡s ₙ 。由第五章习题5.14，Φ￾t ₁≡s ₁，∧···∧t ₙ≡s ₙ →ft ₁ ···t ₙ≡fs ₁ ··· s ₙ。所以，Φ￾ᴄ ft ₁ ··· t ₙ ≡fs ₁ ···s ₙ ，即ft ₁ ···t ₙ ∼ fs ₁···s ₙ 。

第二条的验证留作习题。

4.3 习题 完成上面引理的证明。

对于Ը-项t，记其等价类{s│s是Ը-项且t∼s]为［t］。我们用全部的[t]组成一个论域(注意它是非空的)，如下建立项结构与项解释：

4.4定义令Φ为极大一致的-公式集。与Φ对应的项结构=〈A，ŋ〉由如下条件定义：

1)论域A＝{［t］│t是Ը-项}。

2)对Ը的每个个体常项c，

=［c］。

3)对Ը的每个n元谓词P，

( ［t ₁］，···，［t ₙ］ )，当且仅当，Pt ₁，···t ₙ ∈Φ。

4)对Ը的每个n元函数符号f，

( ［t ₁］，···，［t ₙ］ )＝［ft ₁ ···t ₙ］。

再定义赋值 ρ 为：

5) 对每个个体变项x，

ρ(x)＝［x］。

令σ＝〈，ρ〉。称σ为与Φ对应的项解释，记为σ Φ。

根据引理 4.2，上面定义3) 和

4) 中的条件与代表元t ₁，···，t ₙ的选择无关，因而我们的定义是合理的：

只要t ₁ ∼ s ₁，···，t ₙ ∼ S ₙ，就有ft ₁ ···t ₙ ∼fs ₁ ··· s ₙ，因此 ( ［t ₁］，···，［t ₙ］ ) 的值是唯一的；

只要t ₁ ∼ s ₁，···，t ₙ ∼ s ₙ，就有Pt ₁，···t ₙ ∈Φ当且仅当Ps ₁ ···s ₙ ∈Φ，因此 ( ［t ₁］，···，［t ₙ］ ) 是否成立总是确定的。

容易验证，σ Φ 把每一个Ը-项t解释为［t］：

4.5 引理 对每个Ը-项t，

σ Φ (t)＝［t］：

证明：施归纳于项t。

1）t是个体常项或变项的情况，直接由定义4.4-2、5得到。

t＝ft₁…tₙ。σ Φ （t）＝f𝕶(σΦ (t₁)，···，σΦ (tₙ) )

2) = f𝕶 ( ［t₁］，···，［tₙ］ ) ( 归纳假设 )

＝［ft₁ ··· tₙ］ (定义4.4-4)。

项解释σΦ。就是我们所需要的Ը-解释。下面我们证明，对于包含证据的极大一致集Φ，项解释σΦ恰好满足Φ。

4.6Henkin定理 设Φ是包含

证据的极大一致Ը-公式集。对于任何对任何Ը-公式φ，

σ Φ (φ)＝T，当且仅当，φ∈Φ。

证明：施归纳于φ的秩，即

r (φ)。

1) r (φ)＝0。此时φ为原子公式。

i)φ＝Pt ₁ ···t ₙ 。σ Φ (φ)＝T,

当且仅当，( σΦ (t ₁)，···，σΦ(t ₙ))，

当且仅当，( ［t ₁］，···，［t ₙ］ ) (引理4.5)，

当且仅当，Pt ₁，··· t ₙ ∈Φ (定义

4.4-3)。

ii) φ＝t≡s。σΦ (φ)＝T，

当且仅当，σΦ (t)＝σΦ (s)，

当且仅当，［t］＝［s］ ( 引理4.5 )，

当且仅当，t∼s，

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