数学联邦政治世界观
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Henkin定理 (4-2)

但是,2)对上面的想法提出了一个疑问:对于不同的项t和s,有可能t≡s∈Φ,而2)要求这时候σ (t) 与 σ (s) 是同一个体。因此,(在有等词的语言中)仅仅把项当作论域中的个体还不行,因为这会使得不同的项充当不同的个体。可是,这个困难并不严重,我们可以通过取项的等价类的办法来避免它。就是说,我们可以稍微改变一下原初的想法,不直接用项充当个体,而把Φ规定它们「相等」的那一类项当作一个个体。具体而言,我们可以这样定义一个项之间的等价关系∼:

t∼s,当且仅当,t≡s∈Φ。

然后把项t的指称定义为t所对应的∼ 等价类。这样,(*) 就改变为:

(**) σ (t)={s│t∼s}。

这没有改变「项『指称』自身」的思想,因为这样定义的t的等价类与这个类的代表元t,对Φ而言,实质上是一个对象。我们稍后验证,∼ 的确是等价关系,而这样改变的解释仍然满足 1) 和2 ) 。

3) 的要求是,对Φ所肯定的每个存在式 ∃xφ,有σ的论域中的个体 a (「证据」),使得 a 具有 φ 所表达的性质。如何满足这个要求呢?为方便计,我们暂且只考虑简单的存在式∃xPx,其中 P 为一元谓词。现在,σ 的论域中的全部个体都是Ը-项的解释,因此,这个要求就成为:

∃xPx∈Φ,当且仅当,存在Ը-项t,

使得σ (σ (t) /x) (Px)=T。

根据代入引理(第四章引理

6.1),这相当于说:

∃xPx∈Φ,当且仅当,存在Ը-项t,

使得σ (Pt)=T。

而根据1),σ (Pt)=T等价于Pt∈Φ。因此,∃xPx 所要求的语义上的证据a,变为语形上的证据t。这提示我们,要达到3)的要求,只要做到:

对每个,Ը-存在式 ∃xφ,∃xφ∈Φ中,当且仅当,存在Ը-项t,使得φ (t / x) ∈Φ。满足这个性质的公式集Φ,称为包含证据的。因此,3) 的语义要求,可以转化为对Φ的语形要求,即要求它包含证据。如何使Φ包含证据,我们准备在下一节讨论。本节里面,我们只证明,对任何包含证据的极大一致集,都可以找到上面描述的这样一个解释来满足它。

下面我们处理这个总体思路中的细节问题。

4.1定义 设Φ为极大一致的Ը-公式集,t、s是Ը-项。定义Ը-项之间关系∼如下:

t∼s,当且仅当,t≡s∈Φ。

4.2引理

1)∼是一个等价关系。

2)如果t ₁,∼ s ₁,···,t ₙ ∼ s ₙ,那么,对Ը的任何n元函数符号f,

ft ₁ ···t ₙ ∼ fs ₁ ···s ₙ ;

并且对Ը的任何n元谓词 P,

Pt ₁,···t ₙ ∈Φ,当且仅当,Ps ₁,···s ₙ ∈Φ。

证明:

1) ∼ 是自反的:显然有Φ￾ c t≡t。因此据引理 2.11-1,t≡t∈Φ,即t∼t。

∼是对称的:如果t∼s,则t≡s∈Φ,所以Φ￾ ᴄ t≡s。但由第五章例 5.13-2,Φ￾ ᴄ t≡s→s≡t。故Φ￾ ᴄ s≡t。因此s≡t∈Φ,即s∼t。

∼是传递的:留作习题。

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