Henkin定理 (4-2)

但是，2）对上面的想法提出了一个疑问：对于不同的项t和s，有可能t≡s∈Φ，而2）要求这时候σ (t) 与 σ (s) 是同一个体。因此，(在有等词的语言中）仅仅把项当作论域中的个体还不行，因为这会使得不同的项充当不同的个体。可是，这个困难并不严重，我们可以通过取项的等价类的办法来避免它。就是说，我们可以稍微改变一下原初的想法，不直接用项充当个体，而把Φ规定它们「相等」的那一类项当作一个个体。具体而言，我们可以这样定义一个项之间的等价关系∼：

t∼s，当且仅当，t≡s∈Φ。

然后把项t的指称定义为t所对应的∼ 等价类。这样，(*) 就改变为：

(**) σ (t)＝{s│t∼s}。

这没有改变「项『指称』自身」的思想，因为这样定义的t的等价类与这个类的代表元t，对Φ而言，实质上是一个对象。我们稍后验证，∼ 的确是等价关系，而这样改变的解释仍然满足 1) 和2 ) 。

3) 的要求是，对Φ所肯定的每个存在式 ∃xφ，有σ的论域中的个体 a （「证据」），使得 a 具有 φ 所表达的性质。如何满足这个要求呢？为方便计，我们暂且只考虑简单的存在式∃xPx，其中 P 为一元谓词。现在，σ 的论域中的全部个体都是Ը-项的解释，因此，这个要求就成为：

∃xPx∈Φ，当且仅当，存在Ը-项t，

使得σ (σ (t) /x) (Px)＝T。

根据代入引理（第四章引理

6.1)，这相当于说：

∃xPx∈Φ，当且仅当，存在Ը-项t，

使得σ (Pt)＝T。

而根据1)，σ (Pt)＝T等价于Pt∈Φ。因此，∃xPx 所要求的语义上的证据a，变为语形上的证据t。这提示我们，要达到3）的要求，只要做到：

对每个，Ը-存在式 ∃xφ，∃xφ∈Φ中，当且仅当，存在Ը-项t，使得φ (t / x) ∈Φ。满足这个性质的公式集Φ，称为包含证据的。因此，3) 的语义要求，可以转化为对Φ的语形要求，即要求它包含证据。如何使Φ包含证据，我们准备在下一节讨论。本节里面，我们只证明，对任何包含证据的极大一致集，都可以找到上面描述的这样一个解释来满足它。

下面我们处理这个总体思路中的细节问题。

4.1定义 设Φ为极大一致的Ը-公式集，t、s是Ը-项。定义Ը-项之间关系∼如下：

t∼s，当且仅当，t≡s∈Φ。

4.2引理

1）∼是一个等价关系。

2）如果t ₁，∼ s ₁，···，t ₙ ∼ s ₙ，那么，对Ը的任何n元函数符号f，

ft ₁ ···t ₙ ∼ fs ₁ ···s ₙ ；

并且对Ը的任何n元谓词 P，

Pt ₁，···t ₙ ∈Φ，当且仅当，Ps ₁，···s ₙ ∈Φ。

证明：

1) ∼ 是自反的：显然有Φ￾ c t≡t。因此据引理 2.11-1，t≡t∈Φ，即t∼t。

∼是对称的：如果t∼s，则t≡s∈Φ，所以Φ￾ ᴄ t≡s。但由第五章例 5.13-2，Φ￾ ᴄ t≡s→s≡t。故Φ￾ ᴄ s≡t。因此s≡t∈Φ，即s∼t。

∼是传递的：留作习题。

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