数学论文（集合论的自然公理与连续体问题） (5-2)

因此，大小为稠密开集的族的MAℵ1就是BF A（Γ），其中Γ是ccc偏序集的一类。此外，我们可以公式化有界SPFA和MM的形式。即：有界半真强迫公理（BSPFA）和有界马丁极大值（BMM）是公理BF A（Γ），其中Γ是半真偏序集的类或偏序集类分别保持ω1的平稳子集。

Goldstern和Shelah（[14]）表明，相对于∑2-反映基数的存在性的一致性，以及是其确切的一致性强度。这同样适用于BSPFA。进一步的Woodin证明了BMM[38]相对于大比超紧集弱得多的基数（ω+1-many Woodin基数足够了）。关于一致性强度，R.Schindler已经表明BMM意味着对于每个集合X都有一个具有强基数的内部模型

因此，就一致性而言，BMM比SPFA强得多和PFA。Schindler还表明，以大基数为模，BPFA并不意味着BSPFA。因此，公理BPFA、BSPFA和BMM形成强度严格增加的链条。

当然，不存在所有集合的宇宙的真正扩展，并且因此没有真正的强制扩展。但给定一个强迫概念P，我们可以定义布尔值模型VB，式中B=r.o.（P），并将V视为包含在V B中，通过x 7−给出的正则嵌入→ x。因此，如果我们想最大化所有在VB中成立的∑1句子，或者等价地将适用于V乘B的任何理想扩展，允许尽可能大的参数和一类尽可能宽的强制扩展可能，这正是有界强迫公理所做的。

值得注意的是，ZFC的一个定理是所有∑1句子在某个布尔值模型VB中成立，只允许Hω1中的集合像参数为true。所以，有界强迫公理是很自然的这一事实对Hω2的推广

此外，这是我们最大的希望对于∑2公式不能相同，因为例如CH及其否定是这样的。此外，正如我们在最后一节，V不可能是V B的∑1-初等子结构对于任何非平凡的B。事实上，对于许多B，我们甚至不能允许作为∑1的参数公式Hω3中的所有集合（有关限制的详细讨论，请参见[6]有界强迫公理）。此外，如果我们希望Γ是类在所有强迫概念中，我们甚至不能将ω1作为参数，因为我们可以很容易地将ω1折叠为ω，并且说ω1是可数的是∑1参数ω1。保持ω1的一类强迫概念的偶数BF A（Γ）与ZFC不一致。因为如果S是ω1，则我们可以通过强制添加球杆C⊆S，同时保持ω1.但是说S包含一个俱乐部是参数S中的∑1，因此公理意味着这样一个Club存在于地面模型中不可能的

因此，一个自然的问题是BF a（Γ）的最大类Γ是什么与ZFC一致。D.Asper´o[1]特别指出了这一类：

设Γ是所有偏序集P的类，使得对于每一个基数集Xℵω1的平稳子集中存在一个条件p∈p，使得p力对于每个S∈X，S是平稳的。这个类与这个类一致保持ω1的平稳子集的强迫概念当且仅当ω1的非平稳子集的理想是ω1-密度。公理BF A（Γ）是极大的，即如果P6∈Γ，则P的有界强迫公理失效。

Asper´o还表明，假设存在∑2-反映基数，它是强紧基数的极限。

我们得出结论，有界强迫公理是由极大性准则和V的理想强迫扩张的公平性。有界强迫公理是ω2的一般绝对性公理.

一般来说，一般绝对性断言，任何可以强制的陈述都是真的，仅受其一致性要求的约束。泛型公理Hω1的绝对性，即公理，声明Hω1中的参数可以强迫它们是真的，在描述集理论中自然出现，并且它们是大基数的结果（参见[6]）。

因此，有界强迫公理构成了下一个层次，即对于Hω2，这类公理。由于连续体问题是在Hω2中决定的，可以合理地预期，有界强迫公理将是用于解决问题的适当类型的公理。

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